Exercici 9 - Matrius · Matemàtiques I UPF 2019

Tema: Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · Del examen Examen de Recuperació 2019-20 (2019)

Enunciado

Aquest exercici aborda l'estudi de determinades matrius quadrades i la dependència lineal de vectors:

a. Es defineix la matriu An=(aij)n×n\mathbf{A}_n = (a_{ij})_{n \times n} on aij=(−1)i+ja_{ij} = (-1)^{i+j} (on ii indica la fila i jj la columna).

a.

Escriviu de forma explícita les matrius A2\mathbf{A}_2 i A3\mathbf{A}_3.

b.

Demostreu que la matriu An\mathbf{A}_n és simètrica per a qualsevol valor de n>1n > 1.

c.

Emprant propietats dels determinants, calculeu de manera raonada el determinant ∣A10∣|\mathbf{A}_{10}|.

Enunciado: Exercici 9 - Matrius · Matemàtiques I UPF 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Element (1,1) de A₂:

Solución: 1

a. Element (1,2) de A₂:

Solución: -1

a. Element (2,1) de A₂:

Solución: -1

a. Element (2,2) de A₂:

Solución: 1

a. Element (1,1) de A₃:

Solución: 1

a. Element (1,2) de A₃:

Solución: -1

a. Element (1,3) de A₃:

Solución: 1

a. Element (2,1) de A₃:

Solución: -1

a. Element (2,2) de A₃:

Solución: 1

a. Element (2,3) de A₃:

Solución: -1

a. Element (3,1) de A₃:

Solución: 1

a. Element (3,2) de A₃:

Solución: -1

a. Element (3,3) de A₃:

Solución: 1

b. Demostreu que la matriu Aₙ és simètrica per a qualsevol valor de n > 1.

Solución: Per definició, la matriu és simètrica si coincideix amb la seva transposada, és a dir, si aij=ajia_{ij} = a_{ji} per a tot parell d'índexs. Com que la suma d'enters és commutativa: aij=(−1)i+j=(−1)j+i=ajia_{ij} = (-1)^{i+j} = (-1)^{j+i} = a_{ji} Per tant, An\mathbf{A}_n és simètrica per a qualsevol dimensió nn.

c. Emprant propietats dels determinants, calculeu de manera raonada el determinant |A₁₀|.

Solución: 0

c. Justificació raonada del càlcul de |A₁₀|:

Solución: Com que les files són proporcionals entre si (fila 2 = - fila 1), el determinant és nul per propietats dels determinants.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio P6/2 · 2020 · Exercici 9 - Matrius · 2019 ›

Más ejercicios de Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències