Examen de Matemàtiques I UPF 2018 · Final 2018-19

Determineu quins valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ fan que la relació següent descrigui una circumferència:

$$x^2 + y^2 - 2kx - 4ky = -5k^2 + k - 2$$

Calculeu, així mateix, el centre i el radi que s'obtenen en aquests casos.

a)

b)

c)

Analitzeu raonadament si el valor $\ln(1/5)$ forma part del recorregut (o imatge) de la funció donada per:

$$f(x) = \ln(x + 2) + \ln(x) - \ln(x - 4)$$

a)

No

Sí

b)

c)

Pregunta 3 (8 punts). Aproximació lineal

Empreu la recta tangent (aproximació lineal de primer ordre) de la funció

$$f(x) = \sqrt{10 - x}$$

al voltant d'un valor enter adequat $x = a$ per estimar el valor numèric de $\sqrt{8,97}$.

Considerant l'equació implícita:

$$e^{xy^2} + y^2 = 4x + 5$$

a)

b)

Suposem que es coneix la derivada d'una funció respecte al temps:

$$\dot{X}(t) = e^{t^2+4t}(2t+4)$$

a.

Justificant tots els passos, determineu la variació total o increment de la magnitud $X(t)$ en passar de $t = 0$ a $t = 0{,}1$.

b.

Suposant la condició inicial $X(0) = 1$, determineu la taxa de creixement instantània associada a $X(t)$, expressada en funció de $t$.

Siguin les funcions $f(x) = |x - k|$ i $g(x) = \frac{x}{2} + 1$, on $k$ és un paràmetre real.

a. Resoleu la inequació $f(x) > g(x)$ en funció dels diferents valors possibles de $k$.

Escriu el conjunt solució per a cadascun dels tres casos del paràmetre $k$:

Siguin les funcions $f(x) = |x - k|$ i $g(x) = \frac{x}{2} + 1$, on $k$ és un paràmetre real.

b. Per al valor concret $k = 1$, calculeu l'àrea del recinte fitat delimitat per les gràfiques de $f$ i $g$.

Pregunta 7 (15 punts). Optimització i arrels d'un polinomi

Sigui la funció polinòmica:

$$f(x) = x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 7$$

a.

Determineu els seus punts estacionaris i feu-ne la classificació. ( Indicació: la derivada primera ve donada per $f'(x) = 4(x - 1)(x - 2)(x - 3)$).

b.

Trobeu els extrems globals de $f$ i determineu el seu recorregut. Si no presenta màxim o mínim absolut, justifiqueu-ne el motiu.

c.

Raoneu quantes arrels reals té la funció i indiqueu un interval de longitud 0,2 de la forma $[k, k + 0{,}2]$ que contingui la més gran de totes elles.

Pregunta 8 (15 punts). Punts d'inflexió i concavitat

Sigui la família de funcions depenent del paràmetre real $a$:$$f(x) = 3ax^5 - 5x^4$$Calculeu els possibles punts d'inflexió i determineu els intervals de concavitat i convexitat segons els diferents valors que pugui prendre $a$.

Donada la matriu d'ordre $3 \times 3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Considerem els vectors fila format per les seves files: $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$, respectivament.

Apartat a

Comproveu si els vectors $\vec{u}$ i el producte vectorial $\vec{v} \times \vec{w}$ són perpendiculars entre si.

Sí

No

Donada la matriu d'ordre $3 \times 3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Considerem els vectors fila format per les seves files: $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$, respectivament.

b)

Trobeu un vector propi $\vec{x}_0$ que satisfaci $A\vec{x}_0 = 4\vec{x}_0$ i amb norma $\|\vec{x}_0\| = \sqrt{2}$. Posteriorment, calculeu el vector resultant de $A^{20}\vec{x}_0$.

(

,

,

)

(

,

,

)