Examen de Matemàtiques I UPF 2018 · Recuperació. Curs 2018-19

Pregunta 1 (8 punts). Domini de funció logarítmica segons paràmetre

Determineu el domini de definició de la funció

$$f(x) = \ln(kx^2 + 1)$$

en funció dels diferents valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$. Expresseu el resultat utilitzant intervals o reunions d'intervals.

a)

b)

Pregunta 2 (8 punts). Modelització geomètrica de la despesa familiar

L'any 2000 el pressupost de despeses d'un nucli familiar va ser de 1000 $, mentre que l'any 2020 va disminuir fins a 900$. Sabent que aquestes despeses decauen any rere any en un percentatge constant respecte a l'any precedent, determineu l'expressió analítica de la funció $d(t)$ que descriu la despesa anual (adoptant $t = 0$ per a l'any 2000). A partir de quin any les despeses baixaran per sota dels 800 $?

$d(t) =$

Pregunta 3 (8 punts). Transformacions de funcions i resolució gràfica

A partir de desplaçaments i transformacions elementals, dibuixeu les gràfiques de les funcions

$$f(x) = |x| \quad \text{i} \quad g(x) = |3 - x| + 2$$

i resoleu geomètricament la inequació $f(x) < g(x)$, especificant de manera clara quins desplaçaments s'han dut a terme i justificant el conjunt solució obtingut.

a)

b)

Pregunta 4 (8 punts). Derivació implícita i tangents horitzontals

Es considera la corba plana definida per l'equació implícita $x^2y^2 - 4xy^2 + 4y^2 - y = 2$.

a.

Calculeu la derivada $y'(x)$ mitjançant derivació implícita.

b.

Trobeu, en cas que n'hi hagi, el punt o punts $(x, y)$ de la corba on la recta tangent és horitzontal.

Pregunta 5 (8 punts). Taxa de creixement instantània i valor mitjà

Considerant la funció $X(t) = 3t^2 + 2t$, trobeu per a quin valor de $t$ la taxa de creixement instantània de $X(t)$ coincideix amb el valor mitjà d'aquesta funció en l'interval $[0, 2]$.

$t =$

Es considera la funció $f(x) = \sqrt{-x}$.

Pregunta 6.a - Recta tangent

a. Determineu si existeix algun punt on la recta tangent a la gràfica de $f$ sigui $y = -\frac{1}{4}x + 1$. En cas afirmatiu, indiqueu les coordenades del punt de tangència $(x_0, y_0)$.

Es considera la funció $f(x) = \sqrt{-x}$.

Pregunta 6.b - Càlcul d'àrea

b. Calculeu l'àrea del recinte fitat delimitat per la gràfica de $f$, la recta $y = -\frac{1}{4}x + 1$ i l'eix d'ordenades ($x = 0$).

$A =$

Pregunta 7 (15 punts). Òptims i monotonia d'un polinomi segons paràmetre

Es considera la família de funcions $f(x) = 6ax^2 - 2x^3$, on $a \in \mathbb{R}$ és un paràmetre real. Determineu els extrems relatius de $f$ així com els intervals de creixement i decreixement en funció del valor de $a$.

Desenvolupeu l'estudi de la derivada, punts crítics, extrems relatius i intervals de monotonia distingint els casos segons el paràmetre $a$.

Es considera una funció $f$ la derivada de la qual ve donada per l'expressió $$f'(x) = \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{x}$$

a.

Trobeu els seus punts d'inflexió i determineu els intervals de concavitat ($\cap$) i convexitat ($\cup$).

Es considera una funció $f$ la derivada de la qual ve donada per l'expressió $$f'(x) = \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{x}$$

b.

Determineu, si existeixen, els extrems absoluts de $f$ en l'interval tancat $[1, k]$, amb $k > 1$.

Considerant els vectors $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 0, 2)$:

a.

Esbrineu raonadament si la terna de vectors formada per $\vec{u} \times \vec{v}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ és linealment dependent.

Sí

No

Considerant els vectors $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 0, 2)$:

b.

Definint la matriu quadrada $A = (\vec{v})^T \vec{u}$, trobeu un vector no nul $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \neq \vec{0}$ que satisfaci l'equació matricial:$$A^{20} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{0}$$