Pregunta 7 · Matemàtiques I UPF 2017

a. Determineu el domini de definició de la funció f segons els valors que prengui el paràmetre a.

Solución: Si a < 0, Dom(f) = ℝ; si a = 0, Dom(f) = ℝ \ {0}; si a > 0, Dom(f) = ℝ \ {-√a, √a}.

b. Trobeu els punts estacionaris i determineu els intervals de creixement i de decreixement de f en funció de a.

Solución: Si a ≥ 0, no hi ha punts estacionaris i f és estrictament decreixent en tot el domini. Si a < 0, punts estacionaris x = ±√(-a); creixent a (-√(-a), √(-a)) i decreixent a (-∞, -√(-a)) ∪ (√(-a), ∞).

c. Calculeu els extrems locals de la funció f segons els valors de a, especificant si es tracta de màxims o de mínims relatius.

Solución: Si a ≥ 0, no hi ha extrems locals. Si a < 0, mínim local a x = -√(-a) i màxim local a x = √(-a).

d. Estudieu l'existència d'òptims globals de la funció f en funció del paràmetre a. En cas que no existeixin màxims o mínims absoluts, justifiqueu-ne el motiu.

Solución: Si a ≥ 0, no hi ha extrems globals perquè f divergeix a ±∞ a les asímptotes verticals. Si a < 0, x = √(-a) és màxim global i x = -√(-a) és mínim global.