Pregunta 9 · Matemàtiques I UPF 2017

Tema: Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · Del examen Examen Final Matemàtiques I (Curs 2017-18) (2017)

Enunciado

Pregunta 9 (10 punts). Matrius antisimètriques i càlcul de determinants

Es recorda que una matriu quadrada AA s'anomena antisimètrica si compleix que la seva transposada és la seva oposada: AT=−AA^T = -A.

a.

Demostreu que la matriu quadrada d'ordre nn definida pels elements An=(aij)A_n = (a_{ij}) on aij=i−ja_{ij} = i - j és una matriu antisimètrica.

b.

Calculeu el determinant de la matriu AnA_n per als casos particulars n=2n = 2 i n=3n = 3.

c.

Demostreu que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica d'ordre nn és necessàriament igual a 0 sempre que nn sigui senar. (Indicació: feu servir les propietats bàsiques dels determinants).

Enunciado: Pregunta 9 · Matemàtiques I UPF 2017

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu que la matriu quadrada d'ordre n definida pels elements An=(aij)A_n = (a_{ij}) on aij=i−ja_{ij} = i - j és una matriu antisimètrica.

Solución: bij=aji=j−i=−(i−j)=−aijb_{ij} = a_{ji} = j - i = -(i - j) = -a_{ij}

b. Calculeu el determinant de la matriu AnA_n per al cas particular n=2n = 2.

Solución: 1

b. Calculeu el determinant de la matriu AnA_n per al cas particular n=3n = 3.

Solución: 0

c. Demostreu que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica d'ordre n és necessàriament igual a 0 sempre que n sigui senar.

Solución: ∣A∣=(−1)n∣A∣  ⟹  ∣A∣=−∣A∣  ⟹  2∣A∣=0  ⟹  ∣A∣=0|A| = (-1)^n|A| \implies |A| = -|A| \implies 2|A| = 0 \implies |A| = 0

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 9 · 2017 · Exercici 8 - Apartats b, c i d · 2015 ›

Más ejercicios de Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències