Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2024 · Setembre Serie 3

Considereu la funció polinòmica $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$.

a)

Justifiqueu que la seva gràfica talla l'eix de les abscisses en un punt de l'interval $[-2, 0]$. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall. [1,25 punts]

Considereu la funció polinòmica $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$.

b)

Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de $y=f(x)$. Quants punts de tall té exactament la gràfica d'aquesta funció amb l'eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]

2. Considereu el sistema d'equacions següent, on $m$ és un paràmetre real:

$\left\{\begin{aligned}

x - 3y + mz &= -2 \\

x + my + 2z &= 3 \\

x + y + 2z &= m

\end{aligned}\right.$

a)

Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre $m$. [1,25 punts]

b)

Trobeu la solució del sistema per a $m = 0$. [0,5 punts]

$x =$

$y =$

$z =$

c)

Per a $m = 2$, doneu una solució $(x, y, z)$ del sistema que, a més a més, compleixi $x = 5y$. [0,75 punts]

$x =$

$y =$

$z =$

La classe de l'Èlia ha dissenyat el logotip següent per a pintar-lo a la paret de l'institut:

La corba que passa pel punt $A$ és $y = f(x)$, amb $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$, i la que passa pels punts $B$, $C = (3, 3)$ i $D$ és $y = g(x)$, amb $g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4$.

a)

Calculeu les coordenades dels punts $A$, $B$ i $D$.

[0,75 punts]

(

,

)

(

,

)

(

,

)

La classe de l'Èlia ha dissenyat el logotip següent per a pintar-lo a la paret de l'institut:

La corba que passa pel punt $A$ és $y = f(x)$, amb $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$, i la que passa pels punts $B$, $C = (3, 3)$ i $D$ és $y = g(x)$, amb $g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4$.

b)

Calculeu l'àrea de la zona puntejada. [1,25 punts]

$\text{m}^2$ (o $u^2$)

c)

Els alumnes volen pintar la part puntejada de color blau i la part ratllada de color vermell. Sabent que l'àrea total del logotip és $\frac{175}{12}\text{ m}^2$, de quin color necessitaran més pintura? [0,5 punts]

Blau

Vermell

S'estima que el 20 % dels habitants d'una regió pateix algun tipus d'arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l'arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos.

a)

Si escollim 4 persones a l'atzar, quina és la probabilitat que almenys una d'elles pateixi arrítmies? [0,75 punts]

b)

Quina és la probabilitat que una persona escollida a l'atzar obtingui un diagnòstic positiu d'arrítmia? [0,75 punts]

c)

Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt]

5. Per a cada punt $(x, y)$ de la corba $y = \mathrm{e}^{-2x}$, amb $x > 0$ i $y > 0$, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ i $(x, y)$.

a)

Comproveu que, d'entre tots aquests rectangles, el que té $x = \frac{1}{2}$ és el d'àrea màxima. Quin és el valor d'aquesta àrea? [1,5 punts]

b)

Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció $y = \mathrm{e}^{-2x}$ en el punt d'abscissa $x = 0$, i el seu punt de tall amb l'eix de les abscisses. [1 punt]

6. Considereu el punt $P = (1, 3, 0)$ i el pla $\pi$ d'equació $x + 2y - 2z = -7$.

a)

Sigui $r$ la recta que és perpendicular a $\pi$ i passa per $P$. Calculeu el punt d'intersecció de $\pi$ amb $r$.

[1 punt]

$($

$,$

$,$

$)$

b)

Calculeu la distància $d$ del punt $P$ al pla $\pi$.

[0,5 punts]

c)

Calculeu l'equació d'un altre pla $\pi'$ que sigui paral·lel a $\pi$ i que també estigui a distància $d$ de $P$.

[1 punt]