Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2025 · Setembre Serie 3

Exercici 1

Una família vol comprar un terreny per a fer-s'hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes $y = 0$ i $y = 3x$. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt $P = (1, 1)$, tal com es pot veure en la figura.

a)

Plantegeu l'equació de la recta $r$ que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent $m$, i comproveu que l'àrea del terreny ve donada per $A(m) = \frac{3}{2} \cdot \frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}$. [1 punt]

b)

Calculeu el valor de $m$ que fa que l'àrea d'aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d'aquesta àrea? [1,5 punts]

Exercici 2

Considereu el sistema d'equacions lineals següent:

$$\left\{\begin{aligned} x + 3y + z &= 5 \\ mx + 2z &= 0 \\ my - z &= m \end{aligned}\right.$$

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $m$.

[1,25 punts]

b)

Resoleu el sistema per a $m = 1$.

[0,5 punts]

$x =$

$y =$

$z =$

c)

Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions.

[0,75 punts]

$m =$

Exercici 3

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar.

a)

Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis?

[0,75 punts]

b)

Si l'esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d'impacte?

[0,75 punts]

Exercici 3

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar.

c)

Calculeu els valors de $a$, $b$ i $c$ sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d'inflexió en els beneficis.

[1 punt]

OPCIÓ A

Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família la forma del qual és la de la part ombrejada de la figura adjunta. S'ha adonat que Gaudí el va dissenyar de manera que un dels costats segueix la funció $y = 3\sin(x/4)$ i un altre segueix la funció $y = 3\cos(x/4)$, on $x$ i $y$ estan expressades en metres.

a)

Raoneu a quina funció correspon cada gràfica i calculeu les coordenades dels punts $B$ i $C$ assenyalats a la figura (tenint en compte que $A$ és l'origen de coordenades). [1 punt]

b)

Calculeu el preu del vitrall sabent que costa $750\text{ €}/\text{m}^2$. [1,5 punts]

€

OPCIÓ B

Considereu el pla $\pi: 2x - y + z = 5$ i el punt $P = (0, 1, 3)$.

a)

Comproveu que la distància del punt $P$ al pla $\pi$ és $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. [0,5 punts]

b)

Trobeu l'equació general d'un pla $\pi_1$ paral·lel a $\pi$ i que passi pel punt $P$. Quina és la distància entre $\pi_1$ i $\pi$? [0,75 punts]

c)

Trobeu l'equació general d'un segon pla $\pi_2$, diferent de $\pi_1$, que és paral·lel a $\pi$ i que estigui a una distància $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ de $\pi$. [1,25 punts]