Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2026 · Juny Serie 1

Exercici 1

[2,5 punts en total]

Considereu la funció definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} 5e^{2x} & x \le 0 \\ (x+m)^2 + 1 & 0 < x < 2 \\ 1 & 2 \le x \end{cases}$$

on $m$ és un paràmetre real.

1.1.

Determineu els valors de $m$ que fan que la funció $f(x)$ sigui contínua en tot el seu domini. Justifiqueu la resposta. [1 punt]

1.2.

Feu un esbós de la gràfica de $y = f(x)$ per al cas $m = -2$, i calculeu l'àrea delimitada per aquesta gràfica, l'eix $OX$ i les rectes $x = -1$ i $x = 3$. [1 punt]

1.3.

Per a $m = -2$, trobeu un punt on la recta tangent a $y = f(x)$ sigui paral·lela a $y = -2x$. Calculeu l'equació d'aquesta recta tangent. [0,5 punts]

Exercici 2

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que està format per tres plans a l'espai i depèn del paràmetre real $m$:

$$\left\{\begin{aligned} x + my + z &= 4 \\ x + 3y + z &= 5 \\ mx + y + z &= 4 \end{aligned}\right.$$

2.1.

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $m$. [1 punt]

2.2.

Interpreteu geomètricament aquest sistema per a tots els valors del paràmetre $m$ i resoleu-lo, si és possible, per al cas $m = 1$. [1 punt]

2.3.

Per a $m = 1$, és possible afegir una quarta equació de manera que el sistema resultant sigui compatible determinat i tingui com a solució $(x, y, z) = \left(3, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$? Raoneu la resposta. [0,5 punts]

Exercici 3 [2,5 punts en total]

L'Ajuntament de Canet de Mar ha aconseguit 24 entrades gratuïtes per a un concert d'un grup de rock català, i ha decidit sortejar-les entre els veïns interessats a assistir-hi. Tots els veïns del poble seguidors d'aquest grup s'apunten al sorteig, i només al 16% els toca una entrada. De la resta de seguidors del grup, sis setenes parts intenten comprar una entrada per la web, on la probabilitat d'aconseguir-ne és del 25%.

3.1.

Quantes persones d'aquest municipi tenen entrada per al concert? [0,75 punts]

persones

3.2.

Si escollim a l'atzar un veí de Canet seguidor d'aquest grup de rock i no té entrada per al concert, quina és la probabilitat que hagués intentat aconseguir-la via web? [0,75 punts]

3.3.

El dia del concert, l'equip de so mesura el nivell de decibels generat pels crits entusiastes del públic durant els 5 minuts de durada de la cançó més famosa del grup; es pot aproximar per la funció següent:

$$S(t) = -t^3 + 12t^2 - 30t + 90, \quad t \in [0, 5],$$

on $t$ és el temps en minuts i $S(t)$ els decibels. Quan se superen els 100 decibels es considera que el públic està molt entregat i s'activen automàticament uns efectes lumínics especials. S'activaran en algun moment durant aquests cinc minuts? Si la resposta és afirmativa, calculeu en quin minut s'activen, aproximat a les dècimes. [1 punt]

Sí

No

minuts

OPCIÓ A

L'alcalde d'un poble de Catalunya encarrega a l'arquitecte municipal el disseny d'un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d'haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l'arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l'arquitecte vol delimitar cadascun d'aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament $10\text{ m}$ de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima?

OPCIÓ B

Considereu els punts de l'espai $P = (1, 0, -1)$, $Q = (3, -2, 0)$ i $R = (1, 1, 1)$.

4.1.

Calculeu l'equació del pla que conté els punts $P$, $Q$ i $R$. [0,75 punts]

4.2.

Comproveu que l'àrea del triangle $\Delta PQR$ és $\frac{3\sqrt{5}}{2}\text{ u}^2$. [0,75 punts]

4.3.

Determineu les condicions que han de complir les coordenades d'un quart punt $S = (x, y, z)$ per tal que $P$, $Q$, $R$ i $S$ formin un tetraedre de volum 1. (El volum del tetraedre format pels punts $P$, $Q$, $R$ i $S$ és: $\text{volum}(PQRS) = \frac{\text{àrea}(\Delta PQR) \cdot \text{altura}}{3}$.) [1 punt]