Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2022 · Extraordinaria

Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x, y) = 4x + 2y - 1$ en el recinto definido por las siguientes restricciones:

$$\begin{cases} y - x \le 4 \\ y + 2x \ge 7 \\ -2x - y + 13 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

A.1 [hasta 2,5 puntos]

Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x, y) = 4x + 2y - 1$ en el recinto definido por las siguientes restricciones:$$\begin{cases} y - x \le 4 \\ y + 2x \ge 7 \\ -2x - y + 13 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Representa el recinto mencionado.

b)

[1,5 puntos] Obtén los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función, así como los valores de la función en dichos puntos.

Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x, y) = 4x + 2y - 1$ en el recinto definido por las siguientes restricciones:

$$\begin{cases} y - x \le 4 \\ y + 2x \ge 7 \\ -2x - y + 13 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

B.1 [hasta 2,5 puntos]

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

a)

[0,75 punto] Encuentra el valor o valores de $x$ para que se cumpla la igualdad:$$B^2 = A$$

b)

[1 punto] Igualmente, para que se cumpla:$$B + C = A^{-1}$$

c)

[0,75 puntos] Determina el valor de $x$ para que $A + B + C = 3 \cdot I_2$, donde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

A.2 [hasta 2,5 puntos]

a)

[0,9 puntos] Asocia, razonadamente, las funciones:

A) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$; B) $g(x) = \frac{|x|}{x}$; C) $h(x) = \sqrt[3]{x}$

con las siguientes representaciones gráficas:

Función A) $f(x)$: Gráfica

Función B) $g(x)$: Gráfica

Función C) $h(x)$: Gráfica

b)

[1,6 puntos] En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio y recorrido de la función.

Gráfica (1):

Gráfica (2):

Gráfica (3):

BLOQUE: ANÁLISIS

B.2 [hasta 2,5 puntos]

La velocidad que lleva un patinete $v(t)$, en función del tiempo $t$, viene dada por la siguiente función:

$$v(t) = \begin{cases} 7t^2 & \text{si } 0 \le t < 1 \\ 2t + a & \text{si } 1 \le t \le 5 \\ -t^2 + 12t + b & \text{si } 5 < t \le 10 \end{cases}$$

a)

[0,8 puntos] Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $v(t)$ sea continua en los instantes $t = 1$ y $t = 5$.

b)

[1 punto] Para $a = 5$ y $b = -20$, ¿en qué momento el patinete alcanza la velocidad máxima? Concreta la velocidad máxima mencionada.

c)

[0,7 puntos] En el caso $a = 5$ y $b = -20$, realiza la representación gráfica de la función.

BLOQUE: PROBABILIDAD

A.3. [hasta 2,5 puntos]

Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.

A.3. [hasta 2,5 puntos]

Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.

a)

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.

b)

[1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.

c)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.

BLOQUE: PROBABILIDAD

A.3. [hasta 2,5 puntos]

Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.

B.3. [hasta 2,5 puntos]

Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7.

Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a)

[0,75 puntos] Ambas han encestado.

b)

[0,75 puntos] Ninguna ha encestado.

c)

[0,5 puntos] Sólo Deiene ha encestado.

d)

[0,5 puntos] Al menos una ha encestado.

A.4 [hasta 2,5 puntos]

La temperatura en un determinado mes sigue una distribución normal de media 10 grados y de varianza 16 grados².

a)

[0,9 puntos] Obtén el intervalo característico para el 80%.

b)

[0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día sea superior a 11°?

c)

[0,6 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día esté entre 8° y 10°?

d)

[0,3 puntos] ¿Cuál es la proporción de días con más de 9°?

e)

[0,4 puntos] Si consideramos un mes de 30 días, ¿en cuántos días la temperatura ha sido inferior a 12°?

B.4 [hasta 2,5 puntos]

Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores:

$\bar{x} = 52{,}5\text{ kg}$ y $s = 5{,}3\text{ kg}$

Hemos hecho la siguiente afirmación:

«El peso medio de las chicas de 16 años de esta ciudad está entre 51 kg y 54 kg».

¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?