Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2022 · Ordinaria

El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.

Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

· Coste de construcción · Beneficio

A · 100.000 € · 20.000 €

B · 300.000 € · 40.000 €

BLOQUE: ÁLGEBRA

A.1. [hasta 2,5 puntos]

Una determinada empresa de selección de personal realiza un test de 90 preguntas. Por cada acierto da 6 puntos; por cada fallo quita 2,5 puntos, y por cada pregunta no contestada quita 1,5 puntos. Para aprobar hay que obtener por lo menos 210 puntos.

¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente para obtener los 210 puntos, y que el número de preguntas no contestadas más el número de aciertos sea igual al doble del número de fallos?

El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.

Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

· Coste de construcción · Beneficio

A · 100.000 € · 20.000 €

B · 300.000 € · 40.000 €

BLOQUE: ÁLGEBRA

B.1. [hasta 2,5 puntos]

El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.

Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la del tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

· Coste de construcción · Beneficio

A · 100.000 € · 20.000 €

B · 300.000 € · 40.000 €

a)

[2,2 puntos] ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener el máximo beneficio?

b)

[0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

€

Sea $f(x)$ la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x + 1}{1 - 2x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - x - a & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

A.2. [hasta 2,5 puntos]

Sea $f(x)$ la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x + 1}{1 - 2x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - x - a & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

a)

[0,7 puntos] Encuentra el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 0$.

b)

[1 punto] En el caso $a = 2$, analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, y los máximos y mínimos relativos.

c)

[0,8 puntos] En el caso $a = 2$, realiza la representación gráfica de la función.

Sea $f(x)$ la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x + 1}{1 - 2x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - x - a & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

B.2. [hasta 2,5 puntos]

a)

[0,8 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

$$f(x) = (x^2 - 1)(3x^3 + 5x)^3 \qquad g(x) = \frac{\ln(3x)}{e^{2x}}$$

b)

[0,6 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$, siendo:

$$h(x) = \frac{3x + 6}{2x + 1}$$

c)

[0,5 puntos] Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función $h(x)$.

Sea $f(x)$ la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x + 1}{1 - 2x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - x - a & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

B.2.

d)

[0,6 puntos] Calcula:

$$\int \left( e^{3x} - 3x^2 + \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{(x + 2)^2} \right) dx$$

Un libro tiene 230 páginas repartidas en 3 capítulos. El primer capítulo tiene 100 páginas, y de ellas el 15 % tiene errores. El segundo consta de 80 páginas, de las cuales 8 tienen errores; y en el tercero, de 50 páginas, sólo hay 40 que no tienen ningún error.

Si abrimos el libro por una página al azar:

Si abrimos el libro por una página al azar:

a)

[0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?

b)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida tenga errores y sea del tercer capítulo.

c)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida no tenga errores.

d)

[0,5 puntos] Observamos que la página elegida tiene errores, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tercer capítulo?

Un libro tiene 230 páginas repartidas en 3 capítulos. El primer capítulo tiene 100 páginas, y de ellas el 15 % tiene errores. El segundo consta de 80 páginas, de las cuales 8 tienen errores; y en el tercero, de 50 páginas, sólo hay 40 que no tienen ningún error.

Si abrimos el libro por una página al azar:

Sean $A, B, C, D$ y $E$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a)

[0,75 puntos] Sabemos que $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,5$. Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$.

b)

[1 punto] Sabemos que $P(C) = 0,5$; $P(D) = 0,6$ y $P(C \cup D) = 0,7$. Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$.

c)

[0,75 puntos] Sabemos que $P(A) = 0,4$; $P(E) = 0,6$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA

A.4. [hasta 2,5 puntos]

En un examen de Lengua Inglesa el 30 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 7,6 puntos. Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 6,8 puntos.

a)

[0,75 puntos] Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.

b)

[0,75 puntos] Si la desviación típica es 1,5 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?

c)

[1 punto] Si la desviación típica es 1,5 puntos y el Aprobado se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha aprobado el examen?

%

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA

B.4. [hasta 2,5 puntos]

Se ha diseñado un experimento para comprobar el porcentaje de una población que ha sido vacunada frente a una determinada enfermedad. Para ello se ha elegido una muestra al azar de 1.000 personas, y se les ha preguntado si han recibido la vacuna o no. De ellas, 860 han respondido que sí y el resto que no. Con esta información:

a)

[1,25 puntos] Estimar, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de personas de la población que han recibido la vacuna.

$($

$,$

$)$

b)

[0,75 puntos] Calcular el error máximo admisible para dicho nivel de confianza.

c)

[0,5 puntos] Interpretar los resultados obtenidos.