Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2026 · Extraordinaria

Un pastelero está experimentando con las recetas de dos tipos de dulces que quiere comercializar. Todavía no tiene pensado el nombre, así que de momento les llama dulce tipo A y dulce tipo B. Para la receta del dulce tipo A, además de otros ingredientes, sabe seguro que va a necesitar 70 g de harina y 20 g de azúcar, mientras que para la del tipo B usará 60 g de harina y 10 g de azúcar. Ahora mismo dispone de 4200 g de harina y 800 g de azúcar, cantidades con las que quiere hacer al menos 10 dulces del tipo B y un número de dulces del tipo A, como mínimo, igual a la mitad de los de tipo B. El precio que espera poner a cada dulce de tipo A es 5 euros, y 4 euros a cada dulce de tipo B. Con todo esto quiere saber cuántos dulces de cada tipo tiene que hacer para obtener un ingreso máximo.

(a)

[0,75 puntos] Define las variables del problema y formula la función objetivo y las restricciones que permiten modelar la situación descrita como un problema de programación lineal.

(b)

[0,75 puntos] Representa la región de soluciones factibles.

(c)

[0,5 puntos] Determina el número de dulces de tipo A y de tipo B que debe hacer para maximizar el ingreso e indica el valor de dicho ingreso máximo.

€

En una universidad el alumnado puede cursar una asignatura optativa o bien en modalidad presencial o bien en modalidad virtual. Se sabe que:

El 60 % del alumnado elige la modalidad presencial.

Entre quienes eligen modalidad virtual, el 20 % aprueba la asignatura.

Entre quienes eligen modalidad presencial, el 35 % aprueba la asignatura.

Se elige al azar un estudiante de la asignatura.

(a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado apruebe la asignatura.

(b)

[1 punto] Sabiendo que el estudiante ha aprobado, calcula la probabilidad de que haya cursado la asignatura en modalidad presencial.

(c)

[1 punto] ¿Es más probable que un estudiante que ha aprobado haya cursado la asignatura en modalidad presencial o virtual? Justifica la respuesta.

A

Presencial

B

Virtual

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.

(OPCIÓN 3A)

Sea la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

(a)

[1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determina sus extremos relativos, si existen.

(b)

[1 punto] Estudia la concavidad de la función y determina si tiene puntos de inflexión.

(c)

[1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.

(OPCIÓN 3B)

Una empresa produce un bien cuyo coste total, en miles de euros, viene dado por la función $$C(x) = x^2 + 10x + 600$$ donde $x$ es el número de unidades producidas. El precio de venta por unidad depende de la cantidad producida y viene dado por $$p(x) = 100 - 2x$$

(a)

[0,5 puntos] Expresa la función de ingresos en función de $x$.

(b)

[0,5 puntos] Expresa la función de beneficios en función de $x$.

(c)

[0,5 puntos] Halla los valores de $x$ para los que el beneficio es positivo.

(d)

[0,5 puntos] Determina el número de unidades que debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio.

(e)

[1 punto] Calcula $\displaystyle\int_{10}^{20} \left( C(x) + \frac{1}{p(x)} \right) dx$.

PROBLEMA 4. (OPCIÓN 4A)

Se considera la matriz dependiente del parámetro real $a$:

$$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

(a)

[0,5 puntos] Calcula la matriz traspuesta de $A$ y el determinante de $A$ en función de $a$.

(b)

[0,5 puntos] Determina los valores de $a$ para los que existe la matriz inversa de $A$ y calcula dicha matriz cuando exista.

(c)

[0,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial $AX + B = I$, donde

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$$

indicando para qué valores de $a$ tiene solución.

(d)

[0,5 puntos] Para $a = 3$ calcula la matriz $C = A^{-1} B^t A$, donde $B^t$ denota la traspuesta de $B$.

$C = \left(\vphantom{1}\right.$

$\\$

$\left.\vphantom{1}\right)$

(OPCIÓN 4B)

Sea el sistema lineal dependiente del parámetro real $b$

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + by + z = b + 3 \\ x + y + bz = 4 \end{cases}$$

(a)

(0,5 puntos) Escribe el sistema en forma matricial y calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro $b$.

(b)

(0,25 puntos) Di para qué valores de $b$ la matriz de coeficientes es invertible.

(c)

(0,75 puntos) Estudia el sistema según los valores de $b$, indicando cuándo tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.

(d)

(0,5 puntos) Resuelve el sistema para $b = 0$.

$x =$

$y =$

$z =$