Todos los exámenes de Selectividad 2025 de todas las comunidades

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2025 · Extraordinaria

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Euskadi (PAU/EAU) 2025, Extraordinaria (julio): 4 problemas con solución.

Temas del examen: Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución · Programación lineal · Funciones definidas a trozos: continuidad y representación gráfica · Funciones en contexto: costes, beneficios y optimización · Sucesos: operaciones, probabilidad condicionada e independencia · Experimentos compuestos: probabilidad total y teorema de Bayes · Distribución normal y aproximación de la binomial

Problema 1 · Programación lineal

La creación de una nueva fragancia requiere paciencia, una buena nariz y el conocimiento especial de la proporción justa de esencias de plantas y disolventes, como el alcohol etílico o el agua.

La elaboración empieza con la disolución del alcohol con un poco de agua. Después se agrega el deseado aceite esencial a base de extractos de flores y se mezcla todo para que macere. El alcohol etílico es el componente principal de los perfumes en cuanto a concentración. Es la sustancia que diluye el concentrado del perfume para que pueda aplicarse sobre la piel.

Una empresa fabrica dos tipos de perfume: A y B. El perfume A contiene un 5 % de extracto de rosas y un 10 % de alcohol por litro, mientras que un litro del perfume B se fabrica con un 10 % de extracto de rosas y un 15 % de alcohol.

A mayor porcentaje de alcohol en la mezcla con los extractos de rosas, más volátil es la fragancia, menos fijación tiene y menor es su intensidad, siendo, por tanto, de una menor calidad. Así, el precio de venta del perfume A es de 24 €/L y el del perfume B es de 40 €/L. La empresa quiere organizar la producción de forma óptima a partir de su disponibilidad de materia prima, que en un mes cualquiera es de 70 litros de extracto de rosas y de 120 litros de alcohol.

[2 puntos] ¿Cuántos litros de cada perfume convendría fabricar para que el ingreso por la venta de la producción sea máximo?

[0,5 puntos] ¿Cuál sería dicho ingreso?

Problema 2 - Apartado 2.1 · Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución

El cajero automático de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero automático nos ha entregado exactamente 8 billetes. Además, el número de billetes de 10 euros es el doble que el de 20 euros.

Problema 2 - Apartado 2.2 · Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases}3x-2y-2z=3\\ x-z=1\\ 2y-z=0\end{cases}$

Problema 3 - Apartado 3.1 · Funciones en contexto: costes, beneficios y optimización

APARTADO 3.1 [2,5 puntos]

Se ha observado que las ganancias/pérdidas obtenidas en un juego determinado están relacionadas con el tiempo invertido en el mismo, y que se expresan a través de la siguiente función:

$G(t) = \frac{100 t}{t^2 + 400}$ donde $t$ es el tiempo transcurrido (en minutos) y $G(t)$ son las ganancias/pérdidas (en miles de euros).

[1 punto] Calcula cuánto tiempo hay que estar jugando para ganar lo máximo posible y cuál es dicha cantidad máxima.

[0,4 puntos] Cuanto más tiempo se dedica a jugar, ¿más dinero se gana? Razona la respuesta.

[0,4 puntos] ¿Puede llegarse a perder dinero en caso de jugar mucho tiempo? Razona la respuesta.

[0,7 puntos] ¿Cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?

Problema 3 - Apartado 3.2 · Funciones definidas a trozos: continuidad y representación gráfica

APARTADO 3.2 [2,5 puntos]

Sea $f(x)$ la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } -2 \le x < 0 \\ -x + 2 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 4x + 4 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}$ a)

[1 punto] Analiza la continuidad de la función en el intervalo $(-2,\ 4)$ .

Sí

[0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función.

[1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas $OX$ .

Problema 4 - Apartado 4.1 · Experimentos compuestos: probabilidad total y teorema de Bayes

APARTADO 4.1 [2,5 puntos]

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones: la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 botones y la tercera 4 botones. Cada una de las cajas contiene sólo un botón rojo.

Si elijo una caja al azar y extraigo de ella un botón al azar:

[0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que sea un botón rojo.

[0,9 puntos] Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraído de la primera caja?

[0,7 puntos] Juntamos los botones de las tres cajas en una bolsa de la que extraemos con reemplazamiento cuatro botones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tres sean rojos?

Problema 4 - Apartado 4.2 · Sucesos: operaciones, probabilidad condicionada e independencia

APARTADO 4.2 [2,5 puntos]

En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas numeradas del 000 al 999.

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5.

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55.

[0,4 puntos] Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcular la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5.

[0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el número premiado sea capicúa?

[0,8 puntos] Entre las papeletas numeradas, encuentra aquella cuyo número cumple la siguiente condición: si sumamos dicho número y 25 veces su inverso la suma que se obtiene es la mínima.

Problema 5 - Apartado 5.1 · Distribución normal y aproximación de la binomial

En un determinado mes el tiempo diario de conexión a una determinada aplicación de inteligencia artificial del alumnado de una cierta universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y de varianza 144 minutos². [2,5 puntos]

$N(0, 1)$ kurbak $-\infty$ -tik $z$ -raino mugatutako azalerak

Áreas limitadas por la curva $N(0, 1)$ desde $-\infty$ hasta $z$

· 0'00 · 0'01 · 0'02 · 0'03 · 0'04 · 0'05 · 0'06 · 0'07 · 0'08 · 0'09

0'0 · 0'5000 · 0'5040 · 0'5080 · 0'5120 · 0'5160 · 0'5199 · 0'5239 · 0'5279 · 0'5319 · 0'5359

0'1 · 0'5398 · 0'5438 · 0'5478 · 0'5517 · 0'5557 · 0'5596 · 0'5636 · 0'5675 · 0'5714 · 0'5753

0'2 · 0'5793 · 0'5832 · 0'5871 · 0'5910 · 0'5948 · 0'5987 · 0'6026 · 0'6064 · 0'6103 · 0'6141

0'3 · 0'6179 · 0'6217 · 0'6255 · 0'6293 · 0'6331 · 0'6368 · 0'6406 · 0'6443 · 0'6480 · 0'6517

0'4 · 0'6554 · 0'6591 · 0'6628 · 0'6664 · 0'6700 · 0'6736 · 0'6772 · 0'6808 · 0'6844 · 0'6879

0'5 · 0'6915 · 0'6950 · 0'6985 · 0'7019 · 0'7054 · 0'7088 · 0'7123 · 0'7157 · 0'7190 · 0'7224

0'6 · 0'7257 · 0'7291 · 0'7324 · 0'7357 · 0'7389 · 0'7422 · 0'7454 · 0'7486 · 0'7517 · 0'7549

0'7 · 0'7580 · 0'7611 · 0'7642 · 0'7673 · 0'7704 · 0'7734 · 0'7764 · 0'7794 · 0'7823 · 0'7852

0'8 · 0'7881 · 0'7910 · 0'7939 · 0'7967 · 0'7995 · 0'8023 · 0'8051 · 0'8078 · 0'8106 · 0'8133

0'9 · 0'8159 · 0'8186 · 0'8212 · 0'8238 · 0'8264 · 0'8289 · 0'8315 · 0'8340 · 0'8365 · 0'8389

1'0 · 0'8413 · 0'8438 · 0'8461 · 0'8485 · 0'8508 · 0'8531 · 0'8554 · 0'8577 · 0'8599 · 0'8621

1'1 · 0'8643 · 0'8665 · 0'8686 · 0'8708 · 0'8729 · 0'8749 · 0'8770 · 0'8790 · 0'8810 · 0'8830

1'2 · 0'8849 · 0'8869 · 0'8888 · 0'8907 · 0'8925 · 0'8944 · 0'8962 · 0'8980 · 0'8997 · 0'9015

1'3 · 0'9032 · 0'9049 · 0'9066 · 0'9082 · 0'9099 · 0'9115 · 0'9131 · 0'9147 · 0'9162 · 0'9177

1'4 · 0'9192 · 0'9207 · 0'9222 · 0'9236 · 0'9251 · 0'9265 · 0'9279 · 0'9292 · 0'9306 · 0'9319

1'5 · 0'9332 · 0'9345 · 0'9357 · 0'9370 · 0'9382 · 0'9394 · 0'9406 · 0'9418 · 0'9429 · 0'9441

1'6 · 0'9452 · 0'9463 · 0'9474 · 0'9484 · 0'9495 · 0'9505 · 0'9515 · 0'9525 · 0'9535 · 0'9545

1'7 · 0'9554 · 0'9564 · 0'9573 · 0'9582 · 0'9591 · 0'9599 · 0'9608 · 0'9616 · 0'9625 · 0'9633

1'8 · 0'9641 · 0'9649 · 0'9656 · 0'9664 · 0'9671 · 0'9678 · 0'9686 · 0'9693 · 0'9699 · 0'9706

1'9 · 0'9713 · 0'9719 · 0'9726 · 0'9732 · 0'9738 · 0'9744 · 0'9750 · 0'9756 · 0'9761 · 0'9767

2'0 · 0'9772 · 0'9778 · 0'9783 · 0'9788 · 0'9793 · 0'9798 · 0'9803 · 0'9808 · 0'9812 · 0'9817

2'1 · 0'9821 · 0'9826 · 0'9830 · 0'9834 · 0'9838 · 0'9842 · 0'9846 · 0'9850 · 0'9854 · 0'9857

2'2 · 0'9861 · 0'9864 · 0'9868 · 0'9871 · 0'9875 · 0'9878 · 0'9881 · 0'9884 · 0'9887 · 0'9890

2'3 · 0'9893 · 0'9896 · 0'9898 · 0'9901 · 0'9904 · 0'9906 · 0'9909 · 0'9911 · 0'9913 · 0'9916

2'4 · 0'9918 · 0'9920 · 0'9922 · 0'9925 · 0'9927 · 0'9929 · 0'9931 · 0'9932 · 0'9934 · 0'9936

2'5 · 0'9938 · 0'9940 · 0'9941 · 0'9943 · 0'9945 · 0'9946 · 0'9948 · 0'9949 · 0'9951 · 0'9952

2'6 · 0'9953 · 0'9955 · 0'9956 · 0'9957 · 0'9959 · 0'9960 · 0'9961 · 0'9962 · 0'9963 · 0'9964

2'7 · 0'9965 · 0'9966 · 0'9967 · 0'9968 · 0'9969 · 0'9970 · 0'9971 · 0'9972 · 0'9973 · 0'9974

2'8 · 0'9974 · 0'9975 · 0'9976 · 0'9977 · 0'9977 · 0'9978 · 0'9979 · 0'9979 · 0'9980 · 0'9981

2'9 · 0'9981 · 0'9982 · 0'9982 · 0'9983 · 0'9984 · 0'9984 · 0'9985 · 0'9985 · 0'9986 · 0'9986

3'0 · 0'9987 · 0'9987 · 0'9987 · 0'9988 · 0'9988 · 0'9989 · 0'9989 · 0'9989 · 0'9990 · 0'9990

3'1 · 0'9990 · 0'9991 · 0'9991 · 0'9991 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9993 · 0'9993

3'2 · 0'9993 · 0'9993 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9995

3'3 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9997

3'4 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9998

3'5 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998

3'6 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'7 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'8 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'9 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000

[1 punto] Obtén el intervalo característico para el 80 %.

[0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos?

[0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos?

[0,4 puntos] Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio diario de conexión a la aplicación de inteligencia artificial sea inferior a 207 minutos?

Problema 5 - Apartado 5.2 · Distribución normal y aproximación de la binomial

Lanzamos 6.000 veces un dado equilibrado de seis caras. [2,5 puntos]