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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU País Vasco 2024 · Extraordinaria

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Euskadi (PAU/EAU) 2024, Extraordinaria (julio): 5 problemas con solución.

Temas del examen: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución · Programación lineal · Derivadas: monotonía, extremos, curvatura, recta tangente y parámetros · Funciones en contexto: costes, beneficios y optimización · Sucesos: operaciones, probabilidad condicionada e independencia · Experimentos compuestos: probabilidad total y teorema de Bayes · Distribución normal y aproximación de la binomial · Inferencia: intervalos de confianza y tamaño de la muestra

Ejercicio A.1 · Programación lineal

Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno.

La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

[2, 2 puntos] ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir a diario para obtener el máximo ingreso?

[0, 3 puntos] ¿Cuál sería dicho ingreso?

Ejercicio B.1 a) · Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución

Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno.

La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

B.1 [hasta 2,5 puntos]

[1,25 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{pmatrix} 3 & 1-2x & 0 \\ 2 & x+1 & 2 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ejercicio B.1 b) · Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales

Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno.

La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

B.1 [hasta 2,5 puntos]

[1,25 puntos] Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ , calcula la matriz:

$M = A^t \cdot A^{-1}$

$\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix} =$

Ejercicio A.2 · Derivadas: monotonía, extremos, curvatura, recta tangente y parámetros

BLOQUE: ANÁLISIS

La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:

$f(x) = 40 - 6x + x^2, \quad \text{para } x \ge 0$

donde « $x$ » representa la cantidad producida de un determinado artículo.

A.2 [hasta 2,5 puntos]

[0,75 puntos] Sea la función $f(x) = a x^3 + 3x^2 - 5x + b$ . Halla los valores de los coeficientes $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(1, hinspace -3)$ y tiene un punto de inflexión en $x = -1$ .

[1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función $g(x) = x^3 - 3x^2 + 7$ .

[0,75 puntos] Calcula el área de la región delimitada por la función $g(x)$ , el eje de abscisas $OX$ y las rectas $x = 1$ , $x = 2$ ; y haz su representación gráfica.

$u^2$

Ejercicio B.2 · Funciones en contexto: costes, beneficios y optimización

BLOQUE: ANÁLISIS

La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:

$f(x) = 40 - 6x + x^2, \quad \text{para } x \ge 0$

donde « $x$ » representa la cantidad producida de un determinado artículo.

B.2 [hasta 2,5 puntos]

La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:

$f(x) = 40 - 6x + x^2,\;\text{para } x \geq 0$

donde " $x$ " representa la cantidad producida de un determinado artículo.

[0,75 puntos] ¿Disminuye el coste alguna vez?

[0,5 puntos] Determina la cantidad producida de este artículo cuando el coste es mínimo y calcula cuál es dicho coste.

unidades

€ / miles de €

[0,25 puntos] ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo?

€ / miles de €

[0,75 puntos] Si el coste fuera $80.000$ €, ¿cuál sería la cantidad producida?

unidades

[0,25 puntos] Representa gráficamente la función.

Ejercicio A.3 · Sucesos: operaciones, probabilidad condicionada e independencia

BLOQUE: PROBABILIDAD

Sabemos que $P(A) = 0{,}4$ ; $P(B) = 0{,}3$ y $P(A \cup B) = 0{,}5$ . Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$ .

Sabemos que $P(C) = 0{,}5$ ; $P(D) = 0{,}6$ y $P(C \cup D) = 0{,}7$ . Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$ .

Sabemos que $P(A) = 0{,}4$ ; $P(E) = 0{,}6$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

Ejercicio B.3 · Experimentos compuestos: probabilidad total y teorema de Bayes

BLOQUE: PROBABILIDAD

En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se extraen dos bolas de la caja como se explica a continuación: se extrae una bola, y antes de sacar la segunda se devuelve a la caja la primera bola extraída, añadiendo otras dos bolas del mismo color. A continuación, se extrae una segunda bola.

Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado ha sido azul.

Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.

Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

Ejercicio A.4 · Distribución normal y aproximación de la binomial

En un determinado mes el tiempo diario de conexión a Internet del alumnado de una cierta universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y de varianza 144 minutos².

Tabla de la función de distribución N(0,1)

· 0 · 0'01 · 0'02 · 0'03 · 0'04 · 0'05 · 0'06 · 0'07 · 0'08 · 0'09

0 · 0'5000 · 0'5040 · 0'5080 · 0'5120 · 0'5160 · 0'5199 · 0'5239 · 0'5279 · 0'5319 · 0'5359

0'1 · 0'5398 · 0'5438 · 0'5478 · 0'5517 · 0'5557 · 0'5596 · 0'5636 · 0'5675 · 0'5714 · 0'5753

0'2 · 0'5793 · 0'5832 · 0'5871 · 0'5910 · 0'5948 · 0'5987 · 0'6026 · 0'6064 · 0'6103 · 0'6141

0'3 · 0'6179 · 0'6217 · 0'6255 · 0'6293 · 0'6331 · 0'6368 · 0'6406 · 0'6443 · 0'6480 · 0'6517

0'4 · 0'6554 · 0'6591 · 0'6628 · 0'6664 · 0'6700 · 0'6736 · 0'6772 · 0'6808 · 0'6844 · 0'6879

0'5 · 0'6915 · 0'6950 · 0'6985 · 0'7019 · 0'7054 · 0'7088 · 0'7123 · 0'7157 · 0'7190 · 0'7224

0'6 · 0'7257 · 0'7291 · 0'7324 · 0'7357 · 0'7389 · 0'7422 · 0'7454 · 0'7486 · 0'7517 · 0'7549

0'7 · 0'7580 · 0'7611 · 0'7642 · 0'7673 · 0'7704 · 0'7734 · 0'7764 · 0'7794 · 0'7823 · 0'7852

0'8 · 0'7881 · 0'7910 · 0'7939 · 0'7967 · 0'7995 · 0'8023 · 0'8051 · 0'8078 · 0'8106 · 0'8133

0'9 · 0'8159 · 0'8186 · 0'8212 · 0'8238 · 0'8264 · 0'8289 · 0'8315 · 0'8340 · 0'8365 · 0'8389

1 · 0'8413 · 0'8438 · 0'8461 · 0'8485 · 0'8508 · 0'8531 · 0'8554 · 0'8577 · 0'8599 · 0'8621

1'1 · 0'8643 · 0'8665 · 0'8686 · 0'8708 · 0'8729 · 0'8749 · 0'8770 · 0'8790 · 0'8810 · 0'8830

1'2 · 0'8849 · 0'8869 · 0'8888 · 0'8907 · 0'8925 · 0'8944 · 0'8962 · 0'8980 · 0'8997 · 0'9015

1'3 · 0'9032 · 0'9049 · 0'9066 · 0'9082 · 0'9099 · 0'9115 · 0'9131 · 0'9147 · 0'9162 · 0'9177

1'4 · 0'9192 · 0'9207 · 0'9222 · 0'9236 · 0'9251 · 0'9265 · 0'9279 · 0'9292 · 0'9306 · 0'9319

1'5 · 0'9332 · 0'9345 · 0'9357 · 0'9370 · 0'9382 · 0'9394 · 0'9406 · 0'9418 · 0'9429 · 0'9441

1'6 · 0'9452 · 0'9463 · 0'9474 · 0'9484 · 0'9495 · 0'9505 · 0'9515 · 0'9525 · 0'9535 · 0'9545

1'7 · 0'9554 · 0'9564 · 0'9573 · 0'9582 · 0'9591 · 0'9599 · 0'9608 · 0'9616 · 0'9625 · 0'9633

1'8 · 0'9641 · 0'9649 · 0'9656 · 0'9664 · 0'9671 · 0'9678 · 0'9686 · 0'9693 · 0'9699 · 0'9706

1'9 · 0'9713 · 0'9719 · 0'9726 · 0'9732 · 0'9738 · 0'9744 · 0'9750 · 0'9756 · 0'9761 · 0'9767

2 · 0'9772 · 0'9778 · 0'9783 · 0'9788 · 0'9793 · 0'9798 · 0'9803 · 0'9808 · 0'9812 · 0'9817

2'1 · 0'9821 · 0'9826 · 0'9830 · 0'9834 · 0'9838 · 0'9842 · 0'9846 · 0'9850 · 0'9854 · 0'9857

2'2 · 0'9861 · 0'9864 · 0'9868 · 0'9871 · 0'9875 · 0'9878 · 0'9881 · 0'9884 · 0'9887 · 0'9890

2'3 · 0'9893 · 0'9896 · 0'9898 · 0'9901 · 0'9904 · 0'9906 · 0'9909 · 0'9911 · 0'9913 · 0'9916

2'4 · 0'9918 · 0'9920 · 0'9922 · 0'9925 · 0'9927 · 0'9929 · 0'9931 · 0'9932 · 0'9934 · 0'9936

2'5 · 0'9938 · 0'9940 · 0'9941 · 0'9943 · 0'9945 · 0'9946 · 0'9948 · 0'9949 · 0'9951 · 0'9952

2'6 · 0'9953 · 0'9955 · 0'9956 · 0'9957 · 0'9959 · 0'9960 · 0'9961 · 0'9962 · 0'9963 · 0'9964

2'7 · 0'9965 · 0'9966 · 0'9967 · 0'9968 · 0'9969 · 0'9970 · 0'9971 · 0'9972 · 0'9973 · 0'9974

2'8 · 0'9974 · 0'9975 · 0'9976 · 0'9977 · 0'9977 · 0'9978 · 0'9979 · 0'9979 · 0'9980 · 0'9981

2'9 · 0'9981 · 0'9982 · 0'9982 · 0'9983 · 0'9984 · 0'9984 · 0'9985 · 0'9985 · 0'9986 · 0'9986

3 · 0'9987 · 0'9987 · 0'9987 · 0'9988 · 0'9988 · 0'9989 · 0'9989 · 0'9989 · 0'9990 · 0'9990

3'1 · 0'9990 · 0'9991 · 0'9991 · 0'9991 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9992 · 0'9993 · 0'9993

3'2 · 0'9993 · 0'9993 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9994 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9995

3'3 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9995 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9996 · 0'9997

3'4 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9997 · 0'9998

3'5 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9998

3'6 · 0'9998 · 0'9998 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'7 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'8 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999 · 0'9999

3'9 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000 · 1'0000

Ejercicio B.4 · Inferencia: intervalos de confianza y tamaño de la muestra

Para estimar el coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de cierta universidad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores:

$\bar{x}=98$ puntos y $s=15$ puntos.

Hemos hecho la siguiente afirmación: "El coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de esta universidad está entre 94,5 puntos y 101,5 puntos".