Cuestión 2 - Opción 2B · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2025

Tema: Integrales: primitivas, integral definida y áreas · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

Considere la función f(x)=ln⁡(x+1x)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right).

a)

[1,5] Calcule la integral indefinida ∫f(x)dx\int f(x)dx.

b)

[1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX entre los valores x=1x = 1 y x=2x = 2 es ln⁡(2716)\ln\left(\frac{27}{16}\right).

Enunciado: Cuestión 2 - Opción 2B · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) [0,75] Planteamiento del método de integración por partes.

Solución: u = ln((x+1)/x), du = -1/((x+1)x) dx, dv = dx, v = x

a) [0,75] Calcule la integral indefinida ∫ f(x)dx.

Solución: x * ln((x+1)/x) + ln(|x+1|) + C

b) [1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x) y el eje OX entre los valores x = 1 y x = 2 es ln(27/16).

Solución: f(x) >= 0 en [1, 2], Area = [x*ln((x+1)/x) + ln(x+1)]_1^2 = 2*ln(3/2) + ln(3) - (ln(2) + ln(2)) = 3*ln(3) - 4*ln(2) = ln(27/16)

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