Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia 2023 · Extraordinaria

CUESTIÓN 1. Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:

$$\left\{\begin{aligned} x + ay + z &= 1 \\ 2y + az &= 2 \\ x + y + z &= 1 \end{aligned}\right.$$

Resolverlo para $a=3$.

$x =$

$y =$

$z =$

CUESTIÓN 2. Sea $S$ la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:

$$\left\{\begin{aligned} 3x + 2y &\ge 2 \\ x - y &\le 4 \\ x &\ge 1 \\ y &\le 2 \end{aligned}\right.$$

a)

Represente la región $S$ y calcule sus vértices.

Vértice A:

Vértice B:

Vértice C:

Vértice D:

b)

Determine los puntos de la región factible dónde la función $f(x, y) = 4x - 5y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores.

Punto de mínimo (x, y): Valor mínimo:

Punto de máximo (x, y): Valor máximo:

CUESTIÓN 3. La función de costes de una empresa $C(q) = q^2 - 16q + 48$, donde $q$ es el nivel de producción. Si la ecuación de demanda viene dada por la expresión $p = 12 - q$, donde $p$ es el precio unitario de venta. Determine:

a)

La función de beneficios de la empresa en función del nivel de producción.

$B(q) =$

b)

El nivel de producción, $q$, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa.

$q =$

c)

El precio para el que se obtendría el máximo beneficio.

d)

El valor del beneficio máximo.

CUESTIÓN 4. Dada la función

$$f(x) = \begin{cases} ax + 5 & \text{si } x \le -1 \\ bx^2 - 2x + 1 & \text{si } -1 < x \le 2 \\ \dfrac{3x - 1}{(x - 1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

a)

Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.

$a =$

$b =$

b)

Determine la derivada $f'(x)$ para $x > 2$.

$f'(x) =$

CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x}$, calcule:

a)

El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b)

Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. (0,5 puntos)

c)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

d)

Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

Dada la función $f(x) = 3e^{x+2}$:

a)

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = 3e^{x+2}$ en el punto $x = -2$ (1,25 puntos)

Dada la función $f(x) = 3e^{x+2}$:

b)

Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = 3e^{x+2}$, el eje de abscisas y la recta $x = 1$ (entre $x = 0$ y $x = 1$). (1,25 puntos)

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones $f(x) = 9 - x^2$ y $g(x) = 3 + x$ y calcular su área.

a)

Representar gráficamente la región limitada por ambas funciones. [1 punto]

b)

Calcular el área de la región comprendida entre ambas gráficas. [1,5 puntos]

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos, tales que $P(A) = 0{,}3$, $P(B/A) = 0{,}6$ y $P(A/B) = 0{,}3$:

i.

Calcular $P(A \cap B)$. [0,5 puntos]

ii.

Calcular $P(B)$. ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes?, razone su respuesta. [0,5 puntos]

Sí

No

iii.

Calcular $P(A \cup \bar{B})$. [0,5 puntos]

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

b) Las calificaciones de la asignatura de matemáticas de una región se pueden aproximar por una variable aleatoria normal con varianza $1{,}69$. Se toma una muestra de $324$ estudiantes obteniendo una media de $5{,}84$. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del $99\%$.