Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia 2023 · Ordinaria

CUESTIÓN 1. Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:

$$\left\{\begin{matrix}ax + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 2\end{matrix}\right.$$

Resolverlo para $a = 0$.

CUESTIÓN 2. Una empresa fabrica relojes smartwatch de dos tamaños: tipo A (44 mm) y tipo B (40 mm)...

a) Formule el problema y represente la región factible, calculando sus vértices.

b) ¿Cuántos smartwatch de cada tipo habrá que producir para beneficio máximo, y cuál es?

CUESTIÓN 3. La función de coste de una empresa es $C(q) = q^3 + 3q + 10$ y el precio de venta es $p = 30$.

a) La función de beneficio de esta empresa.

b) El número de unidades producidas que maximiza el beneficio. Razone su resultado.

c) El beneficio máximo que puede lograr la empresa.

CUESTIÓN 4. Sea la función definida a trozos:

$$f(x) = \left\{\begin{matrix}2 + \sqrt{x} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \frac{8x - 2}{2x} & \text{si } x > 1\end{matrix}\right.$$

a) Estudiar la continuidad de la función en todo su dominio.

b) Estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función en su dominio.

c) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x = 2$.

CUESTIÓN 5. Dada la función $f(x) = \frac{2x^2}{9 - x^2}$, calcule:

a)

El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes.

b)

Asíntotas verticales y horizontales.

c)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d)

Máximos y mínimos locales.

CUESTIÓN 6. Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x) = x^2 - 2x + 2$ y $g(x) = -x^2 + 6$. Calcular su área.

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$:

a)

Calcular $\int f(x)\,dx$ (1 punto).

b)

Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $x = 1$ y $x = e$ (1,5 puntos).

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

CUESTIÓN 8. a)

i.

Calcule la probabilidad de que use casco de protección.

ii.

Sabiendo que el usuario de patinete eléctrico usa caso de protección, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

b)

El gasto medio por cliente, en euros, en la lotería de las pasadas navidades se distribuye según una variable Normal de media desconocida y desviación típica igual de 10 euros. Se elige una muestra aleatoria de 225 clientes, resultando que han tenido un gasto medio de 65 euros. Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio de la lotería de Navidad de 2022 con un nivel de confianza del 97%. (1 punto)