Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia 2024 · Extraordinaria

CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Dadas las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}; \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Realiza las siguientes operaciones:

a)

El producto $A \cdot B$. [0,5 puntos]

b)

La inversa $C^{-1}$. [0,5 puntos]

c)

La diferencia $D - A \cdot B$. [0,5 puntos]

d)

Resuelve la ecuación matricial: $A \cdot B + C \cdot X = D$; es decir calcula la matriz $X$. [1 punto]

CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Sea $S$ la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:

$\left\{\begin{array}{l}

x + 2y \le 10 \\

x + y \ge 2 \\

0 \le x \le 8 \\

y \ge 0

\end{array}\right.$

a)

Represente la región $S$ y calcule sus vértices. (2 puntos)

b)

Determine los puntos de la región factible dónde la función $f(x, y) = 2x + y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores. (0,5 puntos)

CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) El número de espectadores, en miles de personas, en unas competiciones de atletismo durante las 5 primeras horas de realización de estas pruebas, viene dada por la función $P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 4$, donde $x$ representa el número de horas, $1 \le x \le 5$. Determine:

a)

¿En qué intervalo aumenta el número de espectadores a la competición? [1 punto]

b)

¿Cuándo hay un mayor número de espectadores?, ¿Cuántos son? [0,75 puntos]

h

c)

¿En qué hora hay menos espectadores?, ¿Cuántos son? [0,75 puntos]

h

CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Dada la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{ax + b}{x} & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ \sqrt{x^3 + 1} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

a)

Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. (1,5 puntos)

b)

Determine la derivada $f'(x)$ para $x > 2$. (1 punto)

CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$, calcule:

a)

El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. [0,5 puntos]

b)

Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. [0,5 puntos]

c)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

d)

Máximos y mínimos locales. [0,5 puntos]

Dada la función $$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 2}$$

CUESTIÓN 6. a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$ en el punto $x = 1$. (1,25 puntos)

Dada la función $$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 2}$$

CUESTIÓN 6. b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$, el eje de abscisa y la recta $x = 1$. (1,25 puntos)

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Calcular el área de la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 2$ y representar gráficamente esta región.

a)

b)

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

CUESTIÓN 8.

a)

Al 45% de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40% jugar al domino y al 23% jugar a las cartas y al domino. Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las siguientes probabilidades:

i.

ii.

iii.

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

CUESTIÓN 8.

b)

La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida $\mu$ y una desviación típica de $4\text{ cm}$. Se toma una muestra aleatoria de $16$ estudiantes de la clase obteniendo una estatura media de $172\text{ cm}$. Hallar un intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del $99\%$. (1 punto)

($$, $$)