Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Murcia 2021 · Extraordinaria

CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Sean las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} a & b \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Calcular el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla: $AB = BA$.

b)

Para $a = 1$ y $b = 0$, resuelva la ecuación: $XB - A = I$, siendo $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Sea el sistema de inecuaciones:

$$\begin{cases} 3x + y \le 12 \\ y \ge \dfrac{x}{2} - 2 \\ x - 2y \ge -3 \\ 2x + 3y \ge 1 \end{cases}$$

a)

Representar gráficamente la región del plano $S$ definido por el sistema de inecuaciones anterior y determine los vértices de dicha región. (1,5 puntos)

Vértice A: (

,

)

Vértice B: (

,

)

Vértice C: (

,

)

Vértice D: (

,

)

b)

Calcular los puntos de la región $S$ dónde la función $f(x,y) = 3x - 2y$ alcanza sus valores máximos y mínimos. (1 punto)

(

,

)

(

,

)

CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) En un concierto celebrado en Murcia se ha estimado el número de miles de jóvenes que han asistido a él en función de la hora de llegada, $t$, mediante la función:

$$f(t) = \frac{10}{(t-6)^2 + 1}$$

Hallar la hora en el que había el mayor número de personas en el concierto. ¿Cuál fue esa cantidad máxima? Razone la respuesta.

h (o valor de $t$)

personas (o miles de jóvenes)

CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = ax^2 + 3x + \dfrac{b}{x}$:

a)

Calcule los valores de $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1,2)$ y determine si ese extremo es un máximo o un mínimo. (1,5 puntos).

Máximo

Mínimo

b)

Si en la función anterior $a = 2$ y $b = 0$, determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$ (1 punto).

CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x) = -x^2 + 4$ y $g(x) = x^2$. Calcular su área.

$\text{u}^2$

Dada la función $f(x) = xe^{x^2}$:

a)

Hallar la pendiente de esta función en el punto $x = 0$. (1 punto)

Dada la función $f(x) = xe^{x^2}$:

b)

Calcular $\int x e^{x^2} dx$

[1 punto]

c)

Calcular $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

[0,5 puntos]

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Se dispone de tres cajas con bolas de distintos colores. La primera contiene 10 bolas: 4 azules y 6 blancas. En la segunda caja hay una única bola azul y 5 blancas. En la tercera caja tenemos 3 bolas azules y 5 blancas. Cogemos una bola al azar de cualquiera de las cajas:

a)

Calcule la probabilidad de que la bola cogida sea azul. [1 punto]

b)

Si la bola elegida es blanca, calcule la probabilidad de que estuviera en la primera caja. [1,5 puntos]

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos) Dado dos sucesos de un experimento aleatorio $A$ y $B$ tales que $P(\overline{A}) = 0{,}45$, $P(B) = 0{,}35$ y $P(A \cup B) = 0{,}7$ Calcular las siguientes probabilidades:

a)

$P(A)$. (0,5 puntos)

b)

$P(A \cap B)$. (1 puntos)

c)

$P(B / A)$ (0,5 puntos)

d)

$P(\overline{A} / \overline{B})$. (0,5 puntos)