Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2024 · Modelo

La primera interpretación en EE.UU. de la octava sinfonía de Mahler tuvo lugar en Filadelfia en 1916 con la participación de una orquesta, dos coros con el mismo número de miembros, un tercer coro infantil y, además, ocho cantantes solistas invitados especialmente y que no pertenecían a ninguno de los coros. La décima parte del número total de intérpretes de los tres coros era menor en 15 unidades al de miembros de la orquesta. Los miembros de cada uno de los dos coros no infantiles superaban en 140 unidades a la suma de componentes del coro infantil y los de la orquesta. El número de miembros de la orquesta excedía en 21 unidades a la doceava parte del total de intérpretes. ¿Cuántos intérpretes tenía la orquesta y cada uno de los coros? ¿Cuántos intérpretes había en total?

Sea la función $f(x) = x\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}$.

a)

[0,75 puntos] Halle $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x-1)^{2/3}}$.

b)

[1,75 puntos] Halle el área, en el primer cuadrante, comprendida entre la recta $y = x$ y la gráfica de la función $f(x)$.

Sea la recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi: z = 0$.

a)

[1 punto] Halle una ecuación de la recta paralela al plano $\pi$ cuya dirección sea perpendicular a $r$ y que pase por el punto $(1, 1, 1)$.

b)

[1,5 puntos] Halle una ecuación de una recta que forme un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ radianes con la recta $r$, que esté contenida en el plano $\pi$ y pase por el punto $(0, 0, 0)$.

La selección española competirá en la Copa Mundial Femenina de Fútbol 2023. En los dos primeros partidos de la fase de grupos, que consta de tres partidos, la probabilidad de ganar cada uno de ellos es del $80\%$. Sin embargo, debido al aumento en la moral de las jugadoras, si ganan los dos primeros partidos la probabilidad de ganar el tercero asciende al $90\%$. En caso contrario, la probabilidad de ganar el tercer partido se mantendrá en el $80\%$. Se pide:

a)

[0,5 puntos] Determinar la probabilidad de que la selección española no gane ningún partido durante la fase de grupos.

b)

[1 punto] Calcular la probabilidad de que la selección gane el tercer partido de la fase de grupos.

c)

[1 punto] Si sabemos que la selección ha ganado el tercer partido, determinar la probabilidad de que no haya ganado alguno de los dos encuentros anteriores.

Consideremos las matrices reales $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se pide:

a)

[0,75 puntos] Estudiar si existe algún valor de $m$ para el cual la matriz $BA$ tiene inversa.

b)

[0,75 puntos] Estudiar el rango de la matriz $AB$ en función del parámetro $m$.

c)

[1 punto] Para $m = 1$, discutir el sistema $(A^t A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a^2 \end{pmatrix}$ según los valores de $a$.

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función real de variable real $f(x) = x - \dfrac{4}{(x-1)^2}$, se pide:

a)

(0.75 puntos) Hallar el dominio de definición de $f(x)$ y determinar, en el caso de que existan, las ecuaciones de las asíntotas de su gráfica.

b)

(1 punto) Determinar los extremos relativos de la función, así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

c)

(0.75 puntos) Calcular la ecuación de una recta tangente a la gráfica de $f(x)$ que sea paralela a la recta de ecuación $9x - 8y = 6$.

Dados los puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, -1)$, $D(1, 1, 2)$, se pide:

a)

Comprobar que los puntos $A, B, C$ y $D$ no son coplanarios y hallar el volumen del tetraedro que forman.

b)

Hallar el área del triángulo que forman los puntos $B, C$ y $D$ y el ángulo $\hat{B}$ del mismo.

c)

Hallar uno de los puntos $E$ del plano determinado por $A$, $B$ y $C$ tales que el cuadrilátero $ABCE$ sea un paralelogramo. Hallar el área de dicho paralelogramo.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, $A_1$ de probabilidad $0.5$ y $A_2$ de probabilidad $0.3$ y se considera $A_3 = \overline{A_1 \cup A_2}$. De cierto suceso $B$ de probabilidad $0.4$ se sabe que es independiente de $A_1$ y que la probabilidad del suceso $A_3 \cap B$ es $0.1$. Con estos datos se pide:

a)

(1 punto) Calcular la probabilidad de $A_3$.

b)

(1.5 puntos) Decidir si $B$ y $A_2$ son independientes.