Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2018 · Modelo

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

Obtener los valores de $m$ para los que la matriz $A - mI$ admite inversa. Indica los valores de $m$ que anulan el determinante:

b)

Calcular la matriz inversa de $A - 2I$. Introduce los elementos de $(A - 2I)^{-1}$:

Dada la función $f(x) = 2\cos(x) + |x - 1|$, se pide:

a)

Determinar el valor de $f'(0)$.

b)

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi$.

c)

Hallar el área del recinto plano limitado por la curva $y = f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = \pi$ y $x = 2\pi$.

Dados los planos $\pi_1 \equiv 3x + y + 2z - 1 = 0$, $\pi_2 \equiv 2x - y + 3z - 1 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = -1 + t, \\ z = 1 + t, \end{cases}$ se pide:

a)

Hallar los puntos de la recta $r$ equidistantes de $\pi_1$ y $\pi_2$.

b)

Hallar el área del triángulo que forma el punto $P(-2, 3, 2)$ con los puntos de intersección de $r$ con $\pi_1$ y $\pi_2$.

Ejercicio 4. Sabiendo que el peso de los estudiantes varones de segundo de bachillerato se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de media $74\text{ kg}$ y desviación típica $6\text{ kg}$, se pide:

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0,1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

a)

Determinar el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso está comprendido entre los $68$ y $80\text{ kg}$. [1 punto]

%

b)

Estimar cuántos de los $1500$ estudiantes varones, que se han presentado a las pruebas de la EvAU en una cierta universidad, pesan más de $80\text{ kg}$. [0,5 puntos]

estudiantes

c)

Si se sabe que uno de estos estudiantes pesa más de $76\text{ kg}$, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de $86\text{ kg}$? [1 punto]

Ejercicio 1 [Calificación máxima: 2.5 puntos]

Dada la matriz $A$ y los vectores $X$ y $B$ siguientes:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & 1 & m+1 \\ 1 & m & m \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2+m \end{pmatrix},$$se pide:

a)

(2 puntos) Discutir el sistema lineal $AX = B$ en función de los valores del parámetro $m$.

b)

(0.5 puntos) Resolver el sistema lineal $AX = B$ cuando $m = -1$.

Ejercicio 2 [2,5 puntos]

El dibujo adjunto muestra la gráfica de la función

$$f(x) = (6 - x)e^{\frac{x-4}{3}} - 1.$$

Se pide:

a)

[1 punto] Calcular el área de la región sombreada.

b)

[1 punto] Determinar la abscisa del punto de la gráfica donde la recta tangente tiene pendiente máxima.

c)

[0,5 puntos] Efectuando los cálculos necesarios, obtener la ecuación de la asíntota que se muestra en el dibujo (flecha discontinua inferior).

Ejercicio 3 [Calificación máxima: 2.5 puntos]

Dados los planos $\pi_1 \equiv x + y = 0$, $\pi_2 \equiv x = 0$ y el punto $B(-1, 1, 1)$, se pide:

a)

(1 punto) Determinar el punto $B'$, simétrico de $B$ respecto del plano $\pi_2$.

b)

(1 punto) Obtener una ecuación de la recta $r$, contenida en el plano $\pi_1$, paralela al plano $\pi_2$ y que pasa por el punto $B$.

c)

(0.5 puntos) Hallar el ángulo que forman los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.

Ejercicio 4 [Calificación máxima: 2.5 puntos]

En una bolsa hay 10 caramelos de fresa, 15 de menta y 5 de limón. Se extraen sucesivamente de la bolsa dos caramelos. Se pide:

a)

(1 punto) Determinar la probabilidad de que el segundo de ellos sea de fresa.

b)

(0.5 puntos) Determinar la probabilidad de que los dos sean de fresa.

c)

(1 punto) Sabiendo que el segundo ha sido de fresa, calcular la probabilidad de que lo haya sido también el primero.