Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2020 · Modelo

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se quiere construir un invernadero para el cultivo de semillas con ambiente controlado de temperatura, humedad y composición del aire. El aire que hay que suministrar debe contener un $78\%$ de nitrógeno, un $21\%$ de oxígeno y un $1\%$ de argón.

a)

(0.5 puntos) Si la capacidad del invernadero es $2000$ litros, determine cuántos litros de nitrógeno, cuántos de oxígeno y cuántos de argón son necesarios.

b)

(2 puntos) Para suministrar el aire se dispone de tres mezclas gaseosas A, B y C, cuya composición se expresa en la tabla adjunta. Obtenga la cantidad que hay que utilizar de cada mezcla para llenar el invernadero de aire con la composición requerida.

Mezcla · Nitrógeno · Oxígeno · Argón

A · $80\%$ · $20\%$ · $0\%$

B · $70\%$ · $20\%$ · $10\%$

C · $60\%$ · $40\%$ · $0\%$

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x) = e^{3x-2}$, se pide:

a)

(1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva $y = f(x)$ tiene pendiente igual a $\frac{3}{e}$ y escribir la ecuación de esta recta tangente.

(ej. (1/3, 1/e) o (1/3, e^(-1)))

b)

(0.5 puntos) Calcular $\lim_{x \to 2/3} \frac{1 - f(x)}{6x - 4}$.

c)

(1 punto) Calcular el área de la superficie acotada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $x = 0$, $y = 1$.

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las rectas $$r_1 \equiv \begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3z \end{cases}, \quad r_2 \equiv \begin{cases} x = 4 + 5z \\ y = 4z - 3 \end{cases}$$ se pide:

a)

(1.5 puntos) Estudiar su posición relativa y hallar la distancia entre ellas.

b)

(1 punto) Hallar el punto de corte entre la recta $r_2$ y el plano que contiene a $r_1$ y pasa por el origen de coordenadas.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se conocen las siguientes probabilidades: $P(A \cup B) = 0{,}55$, $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}90$ y $P(B|A) = 0{,}25$. Se pide:

a)

(2 puntos) Calcular $P(A \cap B)$, $P(A)$, $P(B)$ y $P(B|\overline{A})$.

b)

(0.5 puntos) Deducir de manera razonada si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2+t \\ 5 & 10+3t \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 3t+3 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

Calcular el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $t$.

b)

Resolver el sistema $AX = B$, para los valores de $t$ que lo hagan compatible y determinado.

Dada la función $f(x) = \dfrac{3}{x+1}$, se pide:

a)

Calcular el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en $x = 2$.

b)

Determinar las posibles asíntotas de la curva $y = f(x)$ y estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

c)

Calcular $\displaystyle\int_0^2 x f(x)\,dx$.

Dados los puntos $A(1, 1, -2)$, $B(3, -1, 4)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = -2 + 5\lambda \\ z = 3 \end{cases}$, se pide:

a)

Calcular el área del triángulo $OPQ$, siendo $O(0, 0, 0)$, $P$ el punto medio del segmento $AB$ y $Q$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $B$ y el plano $\pi \equiv z = 7$.

b)

Hallar la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a la recta $r$.

c)

Calcular el coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta que pasa por $A$ y $B$.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En cierta ciudad se estima que la temperatura máxima de cada día, en el mes de junio, sigue una distribución normal de media 30ºC y varianza 25. Se pide:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0,1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

a)

(0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera del mes la temperatura máxima esté entre 28ºC y 32ºC.

b)

(1 punto) Calcular el número esperado de días del mes con máxima superior a 36ºC.

c)

(0.75 puntos) Determinar la temperatura máxima alcanzada el día 10 de junio, sabiendo que dicha temperatura fue superada exactamente el 50% de los días del mes.

°C