Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2021 · Modelo

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 1 & 0 & x-1 \\ x+1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$$, se pide:

a)

Determinar los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los cuales $A$ tiene inversa. [0,5 puntos]

La matriz $A$ tiene inversa para todo $x \in \mathbb{R}$ excepto para los valores donde $|A| = 0$. Escribe dichos valores:

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

Para $x = -1$, calcular la inversa de $A$. [0,75 puntos]

c)

Para $x = 1$, calcular $(AB^t)^{2020}$. [1,25 puntos]

Sea la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x + 1} & \text{si } x \le 1 \\[8pt] \dfrac{\ln x}{x - 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

Estudia la continuidad de $f$. Indica el punto o conjunto donde es continua:

$x =$

b)

Halla las asíntotas de $f$:

$x =$

$y =$

c)

Determina el valor de $x_0 < 1$ que verifica que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ tiene pendiente $-\frac{1}{2}$. Escribe la ecuación de dicha recta tangente.

$x_0 =$

Se consideran los puntos $A(3, 1, 2)$, $B(0, 3, 4)$ y $P(-1, 1, 0)$. Se pide:

a)

Determinar las coordenadas de un punto $Q$ sabiendo que los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{PQ}$ son linealmente dependientes, tienen sentidos opuestos y tienen el mismo módulo.

$($,, $)$

b)

Determinar las coordenadas del punto de intersección de la recta $r$ que contiene a $A$ y $P$, y de la recta $s$ que contiene a $B$ y al punto $C(2, -1, -2)$.

$($,, $)$

c)

Calcular el coseno del ángulo formado por $\vec{PA}$ y $\vec{PB}$.

En un instituto uno de cada cuatro alumnos practica baloncesto. Se eligen 6 alumnos al azar y se considera la variable aleatoria $X$ que representa el número de estudiantes entre estos 6 que practican baloncesto. Se pide:

a)

Identificar la distribución de la variable aleatoria $X$ y calcular $P(X = 0)$.

$n =$

$p =$

b)

Calcular la probabilidad de que al menos 5 de los 6 elegidos practiquen baloncesto.

c)

Calcular la probabilidad de que al menos 1 de los 6 practique baloncesto.

Dados la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ a & -3 & a \\ a - 1 & -3 & a \end{pmatrix}$ y el vector $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, determinar el valor o valores de $a$ para los que se verifica:

a)

$B^t (A + A^t) B = 6$.

b)

El sistema $AX = B$ no tiene solución.

c)

$A = A^{-1}$.

Dada la función $f(x) = x^6 - 4x^4$, se pide:

a)

Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b)

Encontrar sus máximos y mínimos locales, y determinar si son o no globales.

c)

Hallar el área de la región acotada limitada por el eje $y = 0$ y la gráfica de $f$.

Dadas las rectas $r: \begin{cases} x + 2z = 1 \\ y + z = 2 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -3 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$

a)

Hallar la distancia del origen a la recta $s$.

b)

Determinar la posición relativa de $r$ y $s$.

c)

Escribir la ecuación de una recta perpendicular común a ambas rectas.

Una médico experto diagnostica posibles enfermos de una dolencia, fallando en reconocerla en el $5\%$ de los casos que la padecen y diagnosticándola equivocadamente en el $10\%$ de los sanos. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad es padecida por $50$ de cada diez mil personas. Si una persona al azar se somete a reconocimiento, calcule la probabilidad de:

a)

Que sea diagnosticada como enferma.

b)

Que esté enferma si la diagnostican como tal.

c)

Que no esté enferma si la diagnostican sana.

d)

Que sea mal diagnosticada.