Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2024 · Ordinaria

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en $17\ \mathrm{cm}$ la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir $7\ \mathrm{cm}$ para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Para la función $f(x) = x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4$, se pide:

a)

(0.5 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x = \pi$.

b)

(1 punto) Probar que $f(x)$ tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo $(-\pi, 0)$ utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.

c)

(1 punto) Si $g(x) = f(-x)$, calcular el área entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$.

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dados los puntos $A(0, 0, 1)$ y $B(1, 1, 0)$, se pide:

a)

(1 punto) Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $z = 0$.

b)

(1.5 puntos) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, $r_1$ y $r_2$, que pasen por los puntos $A$ y $B$ respectivamente, estén en el plano $x + z = 1$ y tales que la distancia entre ellas sea $1$.

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sabiendo que $P(\overline{A}) = \frac{11}{20}$, $P(A|B) - P(B|A) = \frac{1}{24}$ y $P(A \cap \overline{B}) = \frac{3}{10}$, se pide:

a)

(1.5 puntos) Calcular $P(A \cap B)$ y $P(B)$.

b)

(1 punto) Calcular $P(C)$, siendo $C$ otro suceso del espacio muestral, independiente de $A$ y que verifica que $P(A \cup C) = \frac{14}{25}$.

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Consideremos las matrices reales $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, con $b \neq 0$.

Se pide:

a)

(1.25 puntos) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1} = A$.

Valores de $b$:

b)

(0.75 puntos) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$.

Determinante:

c)

(0.5 puntos) Resolver el sistema $B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ para $b = 1$.

Solución ($x, y, z$):

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Calcule:

a)

(1.25 puntos) $\int_{1}^{e} (x + 2) \ln x \, dx$.

Resultado:

b)

(1.25 puntos) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right)^{\left( \frac{1}{\cos x} \right)}$.

Resultado:

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices $P_1, P_2, P_3$ y $P_4$ de un tetraedro sólido... Se sabe que $P_1(1,1,1), P_2(2,1,0)$ y $P_3(1,3,2)$, pero del cuarto punto $P_4(3,a,3)$ hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada.

a)

(1.5 puntos)... Determine los posibles valores de $a$.

Valores de $a$:

b)

(1 punto) Dado el punto $Q(3,3,3)$, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo... ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices?

Vértices del paralelepípedo:

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo... Se pide:

a)

(1 punto) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar.

Respuestas (separadas por comas):

b)

(1.5 puntos) Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido 8...

Respuestas (separadas por comas):