Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2024 · Extraordinaria

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $\lambda$,$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$se pide:

a)

(1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de $\lambda$.

b)

(1 punto) Resolver el sistema en el caso $\lambda = 1$ y encontrar, si es posible, una solución con $x = 5$.

$x(t) =$, $y(t) =$, $z(t) =$

$x = 5$, $y =$, $z =$

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones sobre funciones polinómicas de grado 2:

a)

(1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta $y = x$ en el punto $(0,0)$.

$p(x) =$

b)

(1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto $(1,1)$.

$p(x) =$

c)

(0.5 puntos) Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en $\mathbb{R}$.

No

Sí

Sean los puntos $P(1,-1,3)$ y $Q(2,1,-1)$:

a)

(1 punto) Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.

Ecuación del plano:

b)

(1.5 puntos) El segmento $PQ$ es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es $34$ y el tercer vértice se encuentra en la recta $r \equiv x - 2 = y = z$. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

$A = ($,, $)$

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, $A_1$ y $A_2$, de igual probabilidad $0.4$ y se considera $A_3 = \overline{A_1 \cup A_2}$ (por tanto, la probabilidad de $A_3$ es $0.2$). De cierto suceso $B$ se sabe que $P(B|A_1) = P(B|A_2)$ y $P(B|A_3) = 2P(B|A_1)$. Y de un suceso $C$ independiente de $A_1$ se sabe que $P(C|A_2) = 0.3$ y $P(C|A_3) = 0.6$. Con estos datos se pide:

a)

(1 punto) Calcular la probabilidad de $B$ si $P(B|A_1) = 0.25$.

$P(B) =$

b)

(1.5 puntos) Calcular la probabilidad de $C$ y determinar si $C$ es independiente de $A_2$.

$P(C) =$

No

Sí

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes

$$\det(A + B) = \det A + \det B$$

no es cierta en general.

a)

(0.75 puntos) Si $A$ y $B$ son dos matrices para las que $\det(A + B) = \det A + \det B$, pruebe que entonces

$$\det((A + B)^2) = \det(A^2) + \det(B^2) + 2\det(AB).$$

b)

(1 punto) Dadas las matrices

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2 & -1 & \alpha \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix},$$

determine el único valor de $\alpha$ con el que sí se cumple la igualdad $\det(C + D) = \det C + \det D$.

c)

(0.75 puntos) Para el valor $\alpha = -1$, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a $C$ como matriz de coeficientes.

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B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x) = x^3 - 3x$, se pide:

a)

(0.75 puntos) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b)

(1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de $f(x)$ y de $g(x) = x(x - 3)$.

Dado el punto $P(5, -1, 2)$ y las rectas:

$$r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 0}{1}, \quad s \equiv \begin{cases} x - y = 5 \\ x + z = 3 \end{cases}$$

se pide:

a)

Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.

$d(r, s) =$

b)

Determinar una ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quien friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el 25 % de sus lanzamientos y Benito en el 30 %, se pide:

a)

(1 punto) Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.

b)

(1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0,1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.