Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2019 · Modelo

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Para cada uno de los siguientes apartados, proponga un ejemplo de matriz cuadrada $A$, de dimensión $3 \times 3$, con todos sus números distintos de cero y con sus tres filas y columnas diferentes, que cumpla la condición pedida.

a)

(0.5 puntos) El determinante de $A$ vale $0$.

b)

(0.5 puntos) El determinante de $A$ vale $1$.

c)

(0.5 puntos) La matriz $A$ coincide con su traspuesta.

d)

(1 punto) Para una cierta matriz cuadrada $C$, distinta de la matriz nula y de la identidad, se verifica que $A \cdot C = C \cdot A$. (Debe proponer ejemplos concretos para las dos matrices $A$ y $C$.)

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La contaminación por dióxido de nitrógeno, $NO_2$, en cierta estación de medición de una ciudad, durante el pasado mes de abril, se puede modelar por la función $$c(t) = 80 - 6t + \frac{23t^2}{20} - \frac{t^3}{30}\text{ mg/m}^3,$$ donde $t \in [0, 30]$ representa el tiempo, expresado en días, transcurrido desde las $0$ horas del día 1 de abril.

a)

(0.5 puntos) ¿Qué nivel de $NO_2$ había a las 12 horas del día 10 de abril?

mg/m³

b)

(1.25 puntos) ¿En qué momento se alcanzó el máximo nivel de $NO_2$?, ¿cuál fue ese nivel máximo?

días

mg/m³

c)

(0.75 puntos) Calcule, mediante $\frac{1}{30} \int_{0}^{30} c(t)\,dt$, el nivel promedio del mes.

mg/m³

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dados los puntos $A(1, 2, -3)$, $B(1, 5, 0)$, $C(5, 6, -1)$ y $D(4, -1, 3)$, se pide:

a)

(1.5 puntos) Calcular el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A$, $B$, $C$ y la distancia del punto $D$ a dicho plano.

b)

(0.5 puntos) Calcular el volumen del tetraedro definido por los cuatro puntos dados.

c)

(0.5 punto) Calcular el área del triángulo definido por $A$, $B$ y $C$.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El examen de oposición a la Administración Local de cierta ciudad consta de 300 preguntas, con respuesta verdadero o falso. Un opositor responde al azar todas las preguntas. Se considera la variable aleatoria $X$ ("número de respuestas acertadas") y se pide:

a)

(1.5 puntos) Justificar que la variable $X$ se puede aproximar por una normal y obtener los parámetros correspondientes.

b)

(1 punto) Utilizando la aproximación por la normal, hallar la probabilidad de que el opositor acierte a lo sumo 130 preguntas y la probabilidad de que acierte exactamente 160 preguntas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0, 1)

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dado el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x - my - z = 0, \\ mx - 4y + (6 - 2m)z = -8m, \\ -x + 2y + z = 6, \end{cases}$$ se pide:

a)

[2 puntos] Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$.

b)

[0.5 puntos] Resolver el sistema en el caso $m = 6$.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

a)

[1 punto] A partir de la siguiente gráfica de la función $f$, determine los valores de: $f'(-1)$, $\lim_{x \to -2^+} f(x)$, $\lim_{x \to -2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 0} f(x)$.

b)

[1.5 puntos] Calcule $\int_{-3}^\pi g(x)\,dx$, donde $g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & \text{si } -3 \le x \le 0, \\ 1 + \operatorname{sen} x & \text{si } 0 < x \le 4. \end{cases}$

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda, \\ y = 3 + \lambda, \\ z = 1 - \lambda, \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x - y = 2, \\ y + z = 1, \end{cases}$ se pide:

a)

(1 punto) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$.

b)

(1 punto) Obtener un plano que contenga a las dos rectas.

c)

(0.5 puntos) Dado el punto $A(3, 1, 0)$, de la recta $s$, obtener un punto $B$, de la recta $r$, de modo que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular a la recta $r$.

(,,)

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de una escuela de idiomas, está compuesto por un $60\%$ de mujeres y el resto varones. Se sabe que el $30\%$ del grupo estudia alemán y que la cuarta parte de las mujeres estudia alemán. Se recibe un mensaje en el grupo. Se pide:

a)

[1.25 puntos] Calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer, si se sabe que el o la remitente estudia alemán.

b)

[1.25 puntos] Si en el mensaje no hay ninguna información sobre el sexo y estudios del remitente, calcular la probabilidad de que sea varón y estudie alemán.