Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2018 · Extraordinaria

OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\quad\text{y}\quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 37/2 \\ 11 \end{pmatrix},$$

se pide:

a)

(1.25 puntos) Discutir el rango de la matriz $A$, en función de los valores del parámetro $\alpha$.

b)

(0.75 puntos) Para $\alpha = 0$, calcular, si es posible, $A^{-1}$.

c)

(0.5 puntos) Resolver, si es posible, el sistema $AX = B$, en el caso $\alpha = 1$.

$x =$

$y =$

Se considera la función

$$f(x) = \begin{cases} 8e^{2x-4} & \text{si } x \le 2 \\[1ex] \dfrac{x^3 - 4x}{x - 2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

y se pide:

a)

(0.75 puntos) Estudiar la continuidad de $f$ en $x = 2$.

b)

(1 punto) Calcular las asíntotas horizontales de $f(x)$. ¿Hay alguna asíntota vertical?

c)

(0.75 puntos) Calcular $\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx$.

Ejercicio 3 [2.5 puntos]

Se consideran los vectores $\vec{u} = (-1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, -1)$ y el punto $A(-4, 4, 7)$. Se pide:

a)

[1 punto] Determinar un vector $\vec{w_1}$ que sea ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$, unitario y con tercera coordenada negativa.

b)

[0.75 puntos] Hallar un vector no nulo $\vec{w_2}$ que sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y ortogonal a $\vec{v}$.

c)

[0.75 puntos] Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y una de sus diagonales es el segmento $OA$.

Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el $13.8\%$ de los españoles mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el $43\%$ de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.

a)

(1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa que lo es?

b)

(1.5 puntos) Cierto test diagnostica correctamente el $96\%$ de los casos positivos de diabetes, pero da un $2\%$ de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea diabético?

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El dibujo adjunto muestra la gráfica de una función $y = f(x)$. Usando la información de la figura, se pide:

a)

(0.5 puntos) Indicar los valores de $f(-1)$ y $f'(1)$.

b)

(1 punto) Justificar, usando límites laterales, si $f$ es continua en los puntos $x = -1$ y $x = 0$.

c)

(0.5 puntos) Indicar razonadamente si $f$ es derivable en los puntos $x = -1$ y $x = 0$.

d)

(0.5 puntos) Determinar el valor de $\int_{-2}^0 f(x)\,dx$.

Ejercicio 3 [2.5 puntos]

Dados el punto $P(0, -1, 1)$ y la recta $r$, que pasa por el punto $Q(1, 0, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (0, 1, 2)$, se pide:

a)

[0.5 puntos] Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a $r$ y pasa por $P$.

b)

[0.5 puntos] Encontrar el punto $S$ contenido en $r$ tal que el vector $\vec{SP}$ sea perpendicular a la recta $r$.

$x =$

, $y =$

, $z =$

c)

[1.5 puntos] Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto $P$ y dos puntos $T_1, T_2$, contenidos en la recta $r$, que están a distancia $\sqrt{5}$ de $P$.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 8.5$ y desviación típica $\sigma = 2.5$. Se pide:

Tabla de la Distribución Normal $N(0,1)$

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0,1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.

a)

(1.25 puntos) Calcular el valor $a$ tal que $P(X \le a) = 0.05$.

b)

(1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre $8$ y $9.3$.