Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2018 · Ordinaria

Ejercicio 1 [2,5 puntos]

Dado el sistema de ecuaciones

$$\begin{cases} x + my = 1 \\ -2x - (m+1)y + z = -1 \\ x + (2m-1)y + (m+2)z = 2 + 2m, \end{cases}$$

se pide:

a)

[2 puntos] Discutir el sistema en función del parámetro $m$.

b)

[0,5 puntos] Resolver el sistema en el caso $m = 0$.

a)

[1.5 puntos] En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes: $m_1 = 0.92$, $m_2 = 0.94$, $m_3 = 0.89$, $m_4 = 0.90$, $m_5 = 0.91$.

Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima. Es decir, el valor para el que la función $E(x) = (x-m_1)^2 + (x-m_2)^2 + \dots + (x-m_5)^2$ alcanza el mínimo. Calcule dicho valor $x$.

b)

[1 punto] Aplique el método de integración por partes para calcular la integral $\int_1^2 x^2 \ln(x) dx$, donde $\ln$ significa logaritmo neperiano.

Dados los planos $\pi_1 \equiv 4x + 6y - 12z + 1 = 0$, $\pi_2 \equiv -2x - 3y + 6z - 5 = 0$, se pide:

a)

(1 punto) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos.

b)

(1.5 puntos) Para el cuadrado de vértices consecutivos $ABCD$, con $A(2, 1, 3)$ y $B(1, 2, 3)$, calcular los vértices $C$ y $D$, sabiendo que $C$ pertenece a los planos $\pi_2$ y $\pi_3 \equiv x - y + z = 2$.

El $60\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.

a)

[1.25 puntos] Determine el porcentaje global de artículos devueltos.

%

b)

[1.25 puntos] ¿Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados?

%

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ -2 & 4 & m \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, se pide:

a)

[1 punto] Obtener los valores del parámetro $m$ para los que la matriz $A$ admite inversa.

b)

[1 punto] Para $m = 0$, calcular $A \cdot B$ y $A^{-1} \cdot B$.

c)

[0,5 puntos] Calcular $B \cdot B^t$ y $B^t \cdot B$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$.

OPCIÓN B

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt{x^2 + 9}}$, se pide:

a)

Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de $f(x)$. [0.5 puntos]

b)

Calcular $f'(4)$. [0.75 puntos]

c)

Hallar el área del recinto limitado por la curva $y = f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$. [1.25 puntos]

Dados el punto $P(1, 1, 1)$ y las rectas $r \equiv \begin{cases} 2x + y = 2 \\ 5x + z = 6 \end{cases}$, $s \equiv \dfrac{x - 2}{-1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z - 1}{1/3}$, se pide:

a)

[1 punto] Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

b)

[1 punto] Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

c)

[0.5 puntos] Hallar el plano perpendicular a la recta $s$ y que pasa por el punto $P$.

OPCIÓN B

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El 75% de los productos fabricados son de tipo A y el 25% de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un 5% de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un 2.5% de las veces.

a)

(1 punto) Si se fabrican 5000 productos en un mes, ¿cuántos de ellos se espera que sean defectuosos?

b)

(1.5 puntos) Un mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron 6000 unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de 160 unidades defectuosas.

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736$.