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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2018 · Ordinaria

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018, Ordinaria (junio): 5 problemas con solución. Gratis.

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Opción A - Ejercicio 1 · Álgebra

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$

Comprébase que $B$ es la matriz inversa de $A$ .

Calcula el producto $A \cdot B$ para verificar si coincide con la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ :

$A \cdot B =$

Calcúlese la matriz $X$ tal que $A \cdot X = B$ .

$X =$

Opción A - Ejercicio 2 · Programación Lineal

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sea $S$ la región del plano definida por:

$x + y \le 50, \quad 2x + y \le 80, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0.$

Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

Vértice en el origen: $($ $,$ $)$

Vértice sobre el eje $OX$ : $($ $,$ $)$

Vértice intersección de las dos rectas: $($ $,$ $)$

Vértice sobre el eje $OY$ : $($ $,$ $)$

Obténgase el valor máximo de la función $f(x, y) = 5x + 4y$ en la región $S$ , indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.

$($ $,$ $)$

Opción A - Ejercicio 3 · Análisis

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Dada la función real de variable real definida por:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 2}{x - 1} & \text{si } x \le 2, \\[2ex] \dfrac{3x^2 - 2x}{x + 2} & \text{si } x > 2. \end{cases}$

Estúdiese si $f(x)$ es continua en $x = 2$ .

Calcúlese la función derivada de $f(x)$ para $x < 2$ .

Opción A - Ejercicio 4 · Probabilidad

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

En una agencia de viajes se ha observado que el $75\,\%$ de los clientes acude buscando un billete de transporte, el $80\,\%$ buscando una reserva de hotel. Se ha observado además que el $65\,\%$ busca las dos cosas. Elegido un cliente de dicha agencia al azar, calcúlese la probabilidad de que:

Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.

Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.

Opción A - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

z ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8458 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

La empresa Dulce.SA produce sobres de azúcar cuyo peso en gramos se puede aproximar por una variable aleatoria $X$ con distribución normal con media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 0{,}5$ gramos.

Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de $0{,}25$ gramos con un nivel de confianza del $95\,\%$ .

Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $25$ sobres, la media muestral, $\overline{X}$ , pese más de $12{,}25$ gramos, sabiendo que $\mu = 12$ gramos.

Opción B - Ejercicio 1 · Álgebra

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$ :

$\left\{\begin{array}{rcl} x + ay + z & = & 1 \\ ax + y + (a - 1)z & = & a \\ x + y + z & = & a + 1 \end{array}\right.$

Discútase en función de los valores del parámetro $a$ .

Resuélvase para $a = 3$ .

Opción B - Ejercicio 2 · Análisis

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x) = \frac{x^3}{(x + 1)^2}.$

Calcúlense el dominio y las asíntotas de $f(x)$ .

Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Opción B - Ejercicio 3 · Análisis

OPCIÓN B

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real:

$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x$

Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ .

Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

Opción B - Ejercicio 4 · Probabilidad

OPCIÓN B

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

En una comunidad de vecinos en el $70\%$ de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el $30\%$ restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de $0{,}8$ y la probabilidad de que lo haga una mujer es $0{,}7$ . Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:

Una persona que trabaja.

Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.

Opción B - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística