Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2019 · Ordinaria

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

Obténgase el valor de la constante $k$ para que el determinante de la matriz $A - 2B$ sea nulo.

k =

b)

Determínese si las matrices $C$ y $(C^t \cdot C)$, donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de $C$, son invertibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas.

Sí

No

Sí

No

$m_{11} =$ $m_{12} =$

$m_{21} =$ $m_{22} =$

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo y la elaboración de un litro de horchata 2 horas. Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de helado con la leche que tiene. Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos 10 litros entre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.

a)

Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.

b)

Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata, obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.

La derivada de una función real de variable real, $f(x)$, viene dada por la expresión:

$$f'(x) = 2x^2 - 4x - 6$$

a)

Obténgase la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0, 3)$.

b)

Determínense los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$) de esta función.

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}8$ y $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}1$.

a)

Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ si no ha ocurrido el suceso $B$ y determínese si los sucesos $A$ y $\overline{B}$ son independientes. $\overline{B}$ denota el complementario del suceso $B$.

Sí

No

b)

Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos, $A$ o $B$.

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El precio mensual de las clases de Pilates en una región se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ euros y varianza $49\text{ euros}^2$.

a)

Seleccionada una muestra aleatoria simple de $64$ centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de $34$ euros. Obténgase un intervalo de confianza al $99{,}2\,\%$ para estimar el precio medio mensual, $\mu$, de las clases de Pilates.

b)

Detérminese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de $3$ euros, con una confianza del $95\,\%$.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real $m$:

$\left\{\begin{array}{rl}

-x + y + z &= 0 \\

x + m y - z &= 0 \\

x - y - m z &= 0

\end{array}\right.$

a)

Determínense los valores del parámetro real $m$ para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial $x = y = z = 0$.

b)

Resuélvase el sistema para $m = 1$, expresando la solución en función de un parámetro real (por ejemplo, $\lambda$ o $t$):

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real:

$$f(x) = \frac{8}{x^2 + 4}$$

a)

Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese.

b)

Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x = 2$.

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

La función real de variable real, $f(x)$, se define según la siguiente expresión:

$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}

e^x + k & \text{si } x \le 0, \\

1 - x^2 & \text{si } 0 < x \le 3, \\

\dfrac{1}{x - 3} & \text{si } x > 3.

\end{array}\right.$

a)

Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de $k$.

b)

Considerando $k = 0$, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

De un estudio realizado en una región, se deduce que la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consolas de videojuegos más tiempo del recomendado por los especialistas es 0'60. Entre estos niños, la probabilidad de fracaso escolar se eleva a 0'30 mientras que, si no juegan más tiempo del recomendado, la probabilidad de fracaso escolar es 0'15. Seleccionado un niño al azar de esta región,

a)

Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar.

b)

Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.

Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El peso de las mochilas escolares de los niños de 5º y 6º de primaria, medido en kilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ kilogramos y desviación típica $\sigma = 1{,}5$ kilogramos.

a)

En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolares y se estimó el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95 %. La amplitud de este intervalo resultó ser 0,49 kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en la muestra.

b)

Supóngase que $\mu = 6$ kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de 225 mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los 5,75 kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de estos cursos.