Ejercicio B.3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, $I(x)$, en miles de euros, vienen expresados por la función$$I(x) = x\,\frac{170 - 0{,}85x}{5},$$en la que $x$ representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función $C(x) = 10 + 2x + x^2$.

a)

Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda $x$ y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo.

miles de litros

miles de euros

b)

Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, $C(x)/x$, no supere los diez mil euros.

La demanda $x$ debe encontrarse entre y miles de litros.