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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2020 · Modelo

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2020, Modelo: 5 problemas con solución. Temas: Álgebra.

Temas del examen: Álgebra · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Ejercicio A.1 · Álgebra

Se consideran las matrices

$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 2 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule los valores de $a$ y de $b$ para que se verifique $A^2 = 2I$ .

Para $a = 0$ y $b = 2$ , determine la matriz $X$ tal que $XA = B - X$ .

X =

Ejercicio A.2 · Análisis

Se considera la función real de variable real $f(x)$ definida por

$f(x) = \begin{cases} -x + a & x < -8 \\ \sqrt[3]{x} & -8 \le x < 1 \\ \ln x & x \ge 1 \end{cases}$

donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano y $a \in \mathbb{R}$ . Se pide:

Proporcionar el valor del parámetro $a$ para que la función anterior sea continua en el punto de abscisa $x = -8$ y analizar la continuidad de la función en el resto de los puntos de su dominio.

Obtener la recta tangente a la función en el punto $x = e$ y estudiar el crecimiento/decrecimiento de esta recta. Justifique su respuesta.

Ejercicio A.3 · Análisis

Dada la curva

$f(x) = x^2 + 4x - 5$

Halle el punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta $y - 6x + 1 = 0$ , indicando su abscisa y ordenada.

Calcule el área del recinto acotado del plano limitado por la gráfica de $f(x)$ y la curva $g(x) = -x^2 + 4x + 3$ .

$\text{u}^2$

Ejercicio A.4 · Probabilidad

En una tienda en periodo de rebajas, el $80\,\%$ de las ventas son de ropa y el $20\,\%$ restante son complementos de moda. De las ventas que se realizan en la campaña, el $20\,\%$ de las ventas de ropa son devueltas, mientras que solo se devuelven el $10\,\%$ de los complementos. Si una de las ventas es elegida al azar, calcule la probabilidad de que la venta:

Sea una prenda de ropa y sea devuelta.

Sea devuelta.

Ejercicio A.5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

$z$ ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

A.5. (2 puntos) La cantidad de principio activo en las pastillas de una determinada marca de detergente puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ mg y varianza $0{,}09\text{ mg}^2$ .

Si una muestra aleatoria simple de 400 pastillas proporcionó una cantidad media de principio activo de 13 mg, halle un intervalo de confianza al 99 % para la media poblacional.

Determine el tamaño muestral mínimo para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ por la media muestral sea menor de 0,05 mg con un nivel de confianza del 98 %.

Ejercicio B.1 · Álgebra

B.1. (2 puntos) Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ m-1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

Proporcione el valor de $m$ para que $A \cdot B = C^t$

$m =$

Para $m = 0$ calcule $B^{-1}$ .

Ejercicio B.2 · Álgebra

B.2. (2 puntos) Dado el sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{rcl}

x + ay + z &=& 6 \\

2x - y + z &=& a - 1 \\

-x + y + z &=& 2

\end{array}\right.$

Discuta el sistema para los distintos valores de $a \in \mathbb{R}$ .

$a =$

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 2$ .

Ejercicio B.3 · Análisis

B.3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

$f(x) = \sqrt{2}x e^{-x^2}$

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

Halle el área del recinto acotado del plano delimitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 1$ .

Ejercicio B.4 · Probabilidad

Se lanza un dado para decidir el número de veces que se lanza una moneda.

Obtenga la probabilidad de no observar ninguna cruz.

Dado que no se observó ninguna cruz, ¿cuál es la probabilidad de haber lanzado la moneda 2 veces?

Ejercicio B.5 · Inferencia Estadística