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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2018 · Modelo

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018, Modelo: 5 problemas con solución. Temas: Álgebra.

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Opción A - Ejercicio 1 · Álgebra

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & a & a \\ a & 0 & a \\ a & a & 0 \end{pmatrix}$ dependiente del parámetro real $a$ .

Determínense los valores de $a$ para los que la matriz $A$ es invertible.

Para $a = 1$ , despéjese y determínese la matriz $X$ de la ecuación matricial $A\cdot X = A + 2\,\mathrm{Id}$ , donde $\mathrm{Id}$ representa la matriz identidad de orden 3.

Opción A - Ejercicio 2 · Programación Lineal

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Una bodega desea fijar el precio de venta al público de las 250 botellas de vino blanco y de las 500 de vino tinto que tiene en stock. Para no incurrir en pérdidas saben que el precio de venta al público de la botella de vino blanco debe ser como mínimo de 3 euros, de la misma manera el precio de venta al público de la botella de vino tinto debe ser de, como mínimo, 4 euros. Además saben que, para ser competitivos con esos precios de venta al público, el coste de 2 botellas de vino blanco y una de tinto debería ser a lo sumo 15 euros. Por el mismo motivo, el coste total de una botella de vino blanco y una de tinto no debe sobrepasar los 10 euros.

Determínense los respectivos precios de venta al público por unidad de las botellas de vino blanco y de las de vino tinto, para que el ingreso total al vender el stock de 250 botellas de vino blanco y 500 de vino tinto sea máximo.

Opción A - Ejercicio 3 · Análisis

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 16$

Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$ .

Calcúlese el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ , el eje de abscisas y las rectas $x = -2$ y $x = 3$ .

Opción A - Ejercicio 4 · Probabilidad

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio tales que: $P(A) = 0{,}4;\quad P(B) = 0{,}5;\quad P(A\mid B) = 0{,}7$

Nota: $\overline{S}$ denota el suceso complementario del suceso $S$ .

Calcúlese:

Opción A - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

z ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

Un determinado partido político desea estimar la proporción de votantes, $p$ , que actualmente se decantaría por él.

Asumiendo que $p = 0{,}5$ , determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de votantes para garantizar que, con una confianza del $90\,\%$ , el margen de error en la estimación no supere el $2\,\%$ ( $\pm 2\,\%$ ).

Se tomó una muestra aleatoria simple de $1200$ votantes de los cuales $240$ afirmaron que votarían por el partido en cuestión. Obténgase un intervalo de confianza del $95\,\%$ para la proporción de votantes de ese partido en la población.

Opción B - Ejercicio 1 · Álgebra

Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$ :

$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ 2x + y + z = 2 \\ 5x + 3y + az = a + 4 \end{array}\right.$

Discútase en función de los valores del parámetro $a$ .

Resuélvase para $a = 1$ .

$x =$

$y =$

$z =$

Opción B - Ejercicio 2 · Análisis

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real $f(x) = \frac{3x^2 + 3}{x}$

Calcúlense el dominio y las asíntotas de $f(x)$ .

Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Opción B - Ejercicio 3 · Análisis

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

El beneficio diario (en miles de euros) de una empresa productora de cemento viene dado por la función:

$f(x) = -2x^2 + 14x - 12$

donde $x$ expresa las toneladas de cemento producidos al día. Se sabe que la producción diaria de cemento está entre 0 y 8 toneladas, es decir, $x \in [0, 8]$ .

Calcúlense $f(0)$ y $f(8)$ e interprétense los resultados en el contexto del problema. Hállense las toneladas de cemento que deben producirse diariamente para obtener el máximo beneficio posible.

miles de euros

toneladas

Determínese entre qué valores debe estar la producción diaria de cemento para que la empresa no tenga pérdidas.

Opción B - Ejercicio 4 · Probabilidad

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio tales que:

$P(A) = 0{,}3; \quad P(B) = 0{,}8; \quad P(A \cup B) = 0{,}9.$

Calcúlese:

Nota: $\bar{S}$ denota el suceso complementario del suceso $S$ .

Opción B - Ejercicio 5 · Inferencia Estadística