Problema 1 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2022

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2022)

Enunciado

Siguin les matrius:

A=(011110100),B=(6−3−4−321−415),I=(100010001),\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

i λ\lambda un paràmetre real qualsevol.

a)

Calculau la matriu A−λI\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}. [2 punts]

b)

Calculau la matriu (A−λI)2(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2. [3 punts]

c)

Calculau, si existeixen, els valors del paràmetre λ\lambda per als quals es satisfà la relació (A−λI)2=B(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2 = \mathbf{B}. [5 punts]

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Element (1,1) de A - λI

Solución: −λ-\lambda

(a) Element (1,2) de A - λI

Solución: 1

(a) Element (1,3) de A - λI

Solución: 1

(a) Element (2,1) de A - λI

Solución: 1

(a) Element (2,2) de A - λI

Solución: 1−λ1 - \lambda

(a) Element (2,3) de A - λI

Solución: 0

(a) Element (3,1) de A - λI

Solución: 1

(a) Element (3,2) de A - λI

Solución: 0

(a) Element (3,3) de A - λI

Solución: −λ-\lambda

(b) Element (1,1) de (A - λI)^2

Solución: λ2+2\lambda^2 + 2

(b) Element (1,2) de (A - λI)^2

Solución: 1−2λ1 - 2\lambda

(b) Element (1,3) de (A - λI)^2

Solución: −2λ-2\lambda

(b) Element (2,1) de (A - λI)^2

Solución: 1−2λ1 - 2\lambda

(b) Element (2,2) de (A - λI)^2

Solución: λ2−2λ+2\lambda^2 - 2\lambda + 2 / (1−λ)2+1(1 - \lambda)^2 + 1

(b) Element (2,3) de (A - λI)^2

Solución: 1

(b) Element (3,1) de (A - λI)^2

Solución: −2λ-2\lambda

(b) Element (3,2) de (A - λI)^2

Solución: 1

(b) Element (3,3) de (A - λI)^2

Solución: λ2+1\lambda^2 + 1

(c) Calculau, si existeixen, els valors del paràmetre λ per als quals es satisfà la relació (A - λI)² = B.

Solución: 2

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