Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2025 · Extraordinaria

Problema A1 (obligatori). — Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, d'un experiment aleatori, sabem que $P(A) = 0.5$, que $P(B) = 0.1$, i que $P(A \mid B) = x$, on $x \in [0,1]$. Es demana:

a)

Existeix algun valor de $x$ per al qual els esdeveniments siguin independents? [1 pt]

b)

Per a quin valor de $x$ es té que la probabilitat de $A \cap B$ és màxima? [1 pt]

Problema A2. — L'Institut Nacional d'Estadística (INE) disposa d'aquestes dades, per al 2023, sobre la quantitat d'habitants a Espanya per nacionalitat i sexe:

· Espanyols · Estrangers

Homes · 20.6 milions · 3.0 milions

Dones · 21.2 milions · 3.3 milions

a)

Escollint un habitant a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui estranger? [1 pt]

b)

Escollint dos habitants a l'atzar de manera independent, quina és la probabilitat que almenys un sigui estranger? [1 pt]

Problema A3. — Suposem que, quan un client entra en una botiga d'electrodomèstics, el temps que hi passa dedins ve donat per una variable aleatòria $X$ que segueix una distribució normal de mitjana poblacional $\mu = 15$ minuts i desviació típica $\sigma = 10$ minuts: $X \sim \mathcal{N}(15, 10)$.

a)

Quina és la probabilitat que un client estigui dins la botiga 25 minuts o menys? [1 pt]

b)

Quina és la probabilitat que un client estigui dins la botiga entre 5 i 25 minuts? [1 pt]

Problema B1. — En una fàbrica tèxtil fabricam vestits, samarretes i faldes.

Cada vestit requereix $5\text{ m}^2$ de teixit i $5$ botons.

Cada samarreta requereix $4\text{ m}^2$ de teixit i $3$ botons.

Cada falda requereix $4\text{ m}^2$ de teixit i cap botó.

a)

Si volem fabricar $10$ vestits, $15$ samarretes i $20$ faldes, quants $\text{m}^2$ de teixit i quants botons necessitam? (0.5 pt)

m²

b)

Resol el sistema d'equacions següent: (1.5 pt) $$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}$$

Expressa les solucions en funció de $z$ ($z \in \mathbb{R}$):

c)

Si disposam de $100\text{ m}^2$ de teixit i $120$ botons, podem utilitzar completament els recursos fabricant productes? (1 pt)

Sí

No

Problema B2. — Considera les matrius quadrades $A$, $B$, $M$, i $N$ de mida $3 \times 3$.

a)

Calcula tots els valors de $x$ tals que $A^2 = A$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}.$$

b)

Troba una matriu $B$ invertible, tal que $B^2 = B$.

c)

Donades dues matrius $M$ i $N$ invertibles tals que $M^2 = M$ i $N^2 = N$, construïm la matriu següent: $C = N \cdot M \cdot N^{-1}$. És cert que $C^2 = C$?

Sí

No

Problema C1. — Restringits al domini $x \in [0,20]$, considera les tres funcions següents:

$$f(x) = x(10-x), \quad g(x) = 125-20x, \quad h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } 0 \le x \le 15, \\ g(x) & \text{si } 15 < x \le 20. \end{cases}$$

a)

Per a quins $x$ es té que $f(x) = g(x)$? Per a quins $x$ es té que $f'(x) = g'(x)$? (1 pt)

b)

Estudia la continuïtat de la funció $h(x)$. (1 pt)

c)

És la funció $h(x)$ derivable? En quins intervals és creixent? (1 pt)

Problema C2. — Considera la funció $f(x) = 10^x + x^{10}$, per a $x \in (0, +\infty)$.

a)

Calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$ i $\lim_{x \to \infty} f(x)$.

b)

Calcula $f'(x)$.

c)

Calcula justificadament $\int_0^1 f'(x) \, dx$.