Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2025 · Ordinaria

Problema A1 (obligatori). — A la loteria de Nadal, el número guanyador de la grossa és un únic número de 5 xifres. Tots els números tenen la mateixa probabilitat de resultar guanyadors. Considera els següents esdeveniments:

A: el número guanyador el Nadal de 2025 serà el 00000.

B: el número guanyador el Nadal de 2025 serà el 72480.

C: el número guanyador el Nadal de 2026 serà el 72480.

a)

Expressa, amb les teves pròpies paraules, què volen dir els dos termes següents: $P(C \mid B)$, i $P(A \cap B)$. (1 pt)

b)

Calcula $P(C \mid B)$ i $P(A \cap B)$. (1 pt)

Problema A2. — L'Institut Nacional d'Estadística (INE) disposa de les dades, per al 2023, sobre la quantitat d'habitants totals i la quantitat de treballadors per nacionalitat i sexe a Espanya, que són les següents:

· Espanyols · Estrangers

Homes · 20.6 milions · 3.0 milions

Dones · 21.2 milions · 3.3 milions

Quantitat d'habitants total.

· Espanyols · Estrangers

Homes · 10.8 milions · 1.9 milions

Dones · 9.6 milions · 1.7 milions

Quantitat de treballadors.

a)

Escollint un home a l'atzar, quina és la probabilitat que treballi? (1 pt)

b)

Escollint un individu a l'atzar, els esdeveniments «ser dona» i «treballar» són independents? (1 pt)

Problema A3. — Després d'una formació acadèmica determinada, el temps que tarden els titulats a trobar feina el podem aproximar mitjançant una variable aleatòria $X$ que segueix una distribució normal de mitjana poblacional $\mu$ desconeguda, i desviació típica $\sigma = 30$ dies. Respecte dels 22 titulats d'enguany, el nombre mitjà de dies que han tardat a trobar feina ha estat de 86.

Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional $\mu$ amb un nivell de confiança del 80%. [2 pt]

Problema B1. — Considera:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$$

a)

És cert que $A = B^{-1}$? És cert que $B = A^{-1}$? (1 pt)

És cert que $A = B^{-1}$?

Sí

No

És cert que $B = A^{-1}$?

Sí

No

b)

Calcula $x$ tal que $Ax = v$. (1 pt)

(,,)$^t$

c)

Amb el valor de $x$ de l'apartat anterior, calcula $y$ tal que $B^2y = x$. (1 pt)

(,,)$^t$

Problema B2. — Per organitzar un esdeveniment social, volem contractar el transport amb una empresa que ens ofereix autocars i minibusos.

Cada autocar té una capacitat de 50 viatgers i té un preu de 100 €.

Cada minibús té una capacitat de 30 viatgers i té un preu de 55 €.

Podem contractar tants autocars com vulguem, i fins a 8 minibusos. Per limitacions en el nombre de conductors, només podem contractar 11 vehicles. Si volem assegurar el transport per a almenys 450 persones, quina és la combinació més avantatjosa i quin cost té? (3 pt)

€

Problema C1. — Considera la funció $f(x) = x^3 - 3x^2$, per a $x \in [-1,\infty)$.

a)

Fes una gràfica esquemàtica de la funció $f(x)$. Calcula o justifica i indica sobre la gràfica el valor de la funció en els extrems del domini, els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims relatius i absoluts. [2 pt]

b)

Sobre la mateixa gràfica, traça la recta tangent a la funció en el punt $x = 1$. Quin és el valor del seu pendent? [1 pt]

Problema C2. — En psicologia, la funció següent modela com les persones valoren recompenses en un instant de temps futur, $t$:

$$V(t) = \frac{1}{(1 + r)^t}, \quad t \in [0, +\infty),$$

on $r$ és una constant positiva, i $t$ es mesura en dies.

a)

Si $r = 0.01$, què val la funció $V(t)$ a $t = 50$? [1 pt]

b)

Per a quin valor de $r$, la funció $V(t)$ val $0.75$ a $t = 50$? [1 pt]

c)

Si $r = 0.03$, a quin valor tendeix la valoració d'una recompensa en un futur molt llunyà? [1 pt]