Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2026 · Extraordinaria

Problema A1. — En una regió, la probabilitat que un dia determinat s'iniciï un incendi forestal depèn de l'estació de l'any: cada dia durant l'estiu aquesta probabilitat és de $0{,}09$, a la tardor és de $0{,}05$, a l'hivern és de $0{,}02$, i a la primavera és de $0{,}08$. Escollirem un dia a l'atzar i suposarem que la probabilitat que l'estació de l'any sigui una o una altra és la mateixa.

a)

Escollint un dia de l'any a l'atzar, quina és la probabilitat que s'iniciï un incendi forestal? [1 pt]

b)

Escollint un dia de l'any a l'atzar, considera els successos següents: $A$, s'inicia un incendi forestal aquest dia; $B$, aquest dia és de primavera. Són els successos $A$ i $B$ independents? [1 pt]

Problema A2. — En un estudi es va suggerir que el temps que cada jove d'una població dedica al dia a les xarxes socials segueix una distribució normal, de mitjana 116 minuts i desviació típica 42 minuts.

a)

Quina proporció de joves d'aquesta població dedica entre 100 i 200 minuts a les xarxes socials? [1 pt]

b)

En Joan és del 10% de joves que més temps dedica a les xarxes socials. Quants minuts hi dedica? [1 pt]

En una sala d'operacions podem dur a terme dos tipus d'operacions:

Tipus A: Necessita 4 apòsits, 2 catèters, i té una durada de 0.5 hores.

Tipus B: Necessita 6 apòsits, 1 catèter, i té una durada d'1 hora.

Necessitam fer almenys 10 operacions en total, i disposam només de 60 apòsits i 26 catèters. Quantes operacions de cada tipus hem de fer per maximitzar les hores d'ús de la sala d'operacions?

hores

Per a qualsevol valor del paràmetre $x$ podem trobar tres matrius, $A$, $B$, $C$, de mida $3 \times 3$, de manera que sempre se satisfan les igualtats següents:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ -2 & x & x \\ 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad A \cdot B = \mathrm{Id}, \quad B \cdot (C + C) = \mathrm{Id}.$$

a)

Per a quins valors del paràmetre $x$, $A \cdot A = \mathrm{Id}$?

b)

Determina $C$ en funció de $x$. Completa els elements de la matriu $C$:

Problema C1

L'alçada mitjana a Espanya s'ha incrementat els darrers 200 anys per factors com l'alimentació i la salut. Fa 200 anys, l'alçada mitjana a Espanya era de 157 cm. Actualment és de 169 cm. Aproximarem l'alçada mitjana a Espanya amb la funció $f(t)$, en cm, següent:$$f(t) = 169 + t \cdot m,$$on $m$ és una constant desconeguda i $t$ és la variable que indica els anys que han passat des d'avui en dia. És a dir, $f(0)$ representa l'alçada mitjana avui en dia, i $f(-200)$ representa l'alçada mitjana fa 200 anys.

a)

Calcula el valor del paràmetre $m$. [1 pt]

b)

Segons la nostra funció $f(t)$, quina serà l'alçada mitjana d'aquí a 50 anys? [1 pt]

c)

Calcula $f'(0)$. Què representa aquest valor? [1 pt]

Problema C2. — Considera la funció $f(x) = \ln(2x)$, per a $x \in (0,+\infty)$.

a)

Fes una gràfica esquemàtica de la funció $f(x)$. Calcula o justifica, i indica sobre la gràfica el valor de la funció en els extrems del domini, els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims relatius i absoluts. (2 pt)

b)

Sobre la mateixa gràfica, traça la recta tangent a la funció en el punt $x = 1$. Quin és el valor del seu pendent? (1 pt)