Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2022 · Extraordinaria

Donat el sistema d'equacions següent depenent del paràmetre $m$:

$$\begin{cases} 3x + 2y + z = 1 \\ -mx + 2y + z = 2 \end{cases}$$

a)

Discutiu per a quins valors de $m$ el sistema té solució i quantes en té en cada cas. [5 punts]

b)

Trobau la solució del sistema per a $m = 2$. [5 punts]

Donades les matrius

$$X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix}$$

a)

Trobau els valors de $k$ per als quals $Y$ és invertible. [3 punts]

b)

Trobau la inversa de $Y$ per a $k = 1$. [3 punts]

c)

Determinau els valors de $m$ i $n$ per als quals la matriu $X$ compleix

$$X^2 - 4X + n\,Id = 0,$$

on $Id$ denota la matriu identitat $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $0$ la matriu nul·la $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. [4 punts]

L'amo d'una botiga de llepolies disposa de 10 paquets de pipes, 30 xiclets i 18 bombons. Decideix que per vendre'ls millor confeccionarà dos tipus de paquets: el tipus A estarà format per un paquet de pipes, dos xiclets i dos bombons i es vendrà a 1'5 euros. El tipus B estarà format per un paquet de pipes, quatre xiclets i un bombó i es vendrà a 2 euros.

a)

Plantejau la maximització del benefici de la botiga com un problema de programació lineal. [4 punts]

b)

Dibuixau la regió factible per a la solució, indicant les rectes i vèrtexs que la delimiten. [4 punts]

c)

Calculau el nombre de paquets de tipus A i B que s'han de confeccionar i vendre per tal d'obtenir un benefici màxim. Determinau també aquest benefici màxim. [2 punts]

Donada la funció $$f(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+3}$$

a)

Trobau-ne el domini, intervals de creixement i decreixement. (5 punts)

x =

Donada la funció $$f(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+3}$$

b)

Calculau una primitiva de $f(x)$. (3 punts)

c)

Calculau l'àrea limitada per la gràfica de $f(x)$ i les rectes $x = 4$, $x = 7$ i $y = 0$. (2 punts)

Una acadèmia d'anglès cobra una quota de 50 euros mensuals i té 200 estudiants. Un estudi de mercat afirma que per cada 2 euros que s'apuja (o s'abaixa) la quota es perden (o es guanyen) 10 estudiants.

a)

Escriviu el nombre d'estudiants de l'acadèmia en funció del preu de la quota. (3 punts)

b)

Per a quin valor de la quota l'acadèmia es quedaria sense estudiants? (2 punts)

€

c)

Determinau en quin preu cal fixar la quota per obtenir un ingrés mensual màxim. Quin seria aquest ingrés i quants estudiants tindria l'acadèmia? (5 punts)

€

€

estudiants

L'evolució de la població d'un Estat, en milions d'habitants, es pot aproximar mitjançant la funció$$P(t) = \frac{20t}{4 + t^2} + 40, \quad t \ge 0$$on $t$ és el temps en anys.

a)

Calculau la població actual (per a $t = 0$). (2 punts)

milions d'habitants

b)

Determinau el límit de $P(t)$ quan $t$ tendeix a infinit. (3 punts)

c)

Determinau al cap de quants anys la població serà màxima i el nombre d'habitants que la funció prediu per a aquest màxim. (5 punts)

anys

milions d'habitants

En una universitat s'ha observat que la distribució de les qualificacions de Física als estudis d'Enginyeria Informàtica segueix una llei normal de mitjana $\mu = 5.1$ punts i desviació típica $\sigma = 1.6$.

a)

Quina és la probabilitat que un alumne escollit a l'atzar obtingui una nota inferior a 4 punts? [3 punts]

c)

Si en una aula hi ha 50 alumnes, quants d'alumnes és d'esperar que tinguin una nota superior a 4 punts? [3 punts]

En una universitat s'ha observat que la distribució de les qualificacions de Física als estudis d'Enginyeria Informàtica segueix una llei normal de mitjana $\mu = 5.1$ punts i desviació típica $\sigma = 1.6$.

b)

Quina és la probabilitat que una mostra de 64 alumnes tingui una mitjana superior a 5.9? [4 punts]

De dos esdeveniments d'un mateix espai mostral se sap que

$p(B|A) = 0{,}9 \quad p(A|B) = 0{,}2 \quad p(A) = 0{,}1$

a)

Calculau $p(A \cap B)$ i $p(B)$. (5 punts)

b)

Són els esdeveniments $A$ i $B$ independents? Raonau la resposta. (2 punts)

c)

Calculau $p(A \cap \overline{B})$, on $\overline{B}$ representa l'esdeveniment complementari de $B$. (3 punts)