Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2022 · Ordinaria

Fa un any una societat de capital de risc va invertir $100\,000$ euros en accions de tres empreses, que anomenarem A, B i C. Ara, les accions de l'empresa A han augmentat de valor en un $50\,\%$, les de l'empresa B han augmentat en un $10\,\%$ i, en canvi, les de l'empresa C han perdut un $15\,\%$ del seu valor. Si la societat ara vengués totes les accions obtindria $102\,000$ euros. Sabem que va invertir en les accions de l'empresa C el mateix que en les altres dues juntes.

a)

Identificau les variables i interpretau l'enunciat com un conjunt d'equacions lineals.

[5 punts]

b)

Calculau la quantitat de doblers que la societat va invertir en accions de cada empresa.

[5 punts]

En un taller es fabriquen dos tipus de bosses. Per fer una bossa del primer model es necessiten $0.9\text{ m}^2$ de cuir i $8$ hores de feina. Per al segon model es necessiten $1.2\text{ m}^2$ de cuir i $4$ hores de feina. Per fer aquests dos tipus de bosses el taller disposa de $60\text{ m}^2$ de cuir i pot dedicar-hi un màxim de $400$ hores de feina. El taller cobra $30$ euros per una bossa del primer model i $25$ per una del segon.

a)

Plantejau la maximització del benefici de la companyia com un problema de programació lineal.

[4 punts]

b)

Dibuixau la regió factible per a la solució, indicant les rectes i vèrtexs que la delimiten.

[4 punts]

c)

Calculau el nombre de bosses de cada tipus que s'han de fabricar per tal d'obtenir un benefici màxim. Determinau també aquest benefici màxim.

[2 punts]

Donat el següent sistema d'equacions

$\begin{cases}

x - ay + 2z = 0 \\

ax - 4y - 4z = 0 \\

4x + 3y - 2z = 0

\end{cases}$

depenent del paràmetre $a$.

a)

Discutiu per a quins valors de $a$ el sistema té solució i quantes en té en cada cas.

[6 punts]

b)

Trobau la solució en el cas que $a = -2$.

[4 punts]

Considerau la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 + ax + 2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

a)

Calculau els valors de $a$ perquè $f(x)$ sigui contínua i derivable. [5 punts]

Considerau la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 + ax + 2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

b)

Per a $a = 4$ calculau l'àrea compresa entre la gràfica de $f(x)$ i les rectes $x = 0$, $x = 1$ i $y = 0$. [5 punts]

La despesa mensual en euros en loteria d'un treballador ve determinada pel seu salari mitjançant la funció $$f(x) = \frac{100x}{b + x^2}$$ en què $x \ge 0$ representa el salari en milers d'euros i $b > 0$ és un paràmetre.

a)

Trobau el valor de $b$ per al qual el màxim de la despesa s'obté amb un salari de 2 mil euros. [3 punts]

b)

Per a $b = 9$, determinau el salari per al qual la despesa és màxima. A quant ascendeix aquesta despesa? [4 punts]

c)

Per a $b = 9$, per a quins salaris la despesa mensual és superior a 10 euros? [3 punts]

Si el preu de l'entrada d'un cinema és de 8 euros, hi van 500 persones. El propietari sap per experiència que per cada augment d'1,5 euros en el preu de l'entrada hi van 30 espectadors menys. Trobau:

a)

La funció que determina el nombre d'espectadors en funció del preu de l'entrada $p$. [3 punts]

b)

La funció que determina els ingressos del cinema en funció del preu de l'entrada $p$. [2 punts]

c)

El preu de l'entrada perquè els ingressos del propietari siguin màxims. [3 punts]

d)

El nombre d'espectadors que aniran al cinema quan el preu sigui el que correspon als ingressos màxims i aquests ingressos màxims. [2 punts]

7 La producció en quilograms de taronges per taronger a Sóller segueix una distribució normal de desviació típica 2 i mitjana desconeguda.

Taula de la distribució normal $N(0, 1)$.

a)

Calculau la mida mínima de la mostra que s'ha de prendre perquè, en estimar la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del $94\,\%$, l'error comès sigui inferior a $1.5\text{ kg}$.

[5 punts]

b)

Si s'agafa una mostra aleatòria de 10 tarongers, amb produccions en quilograms:

30 25 4 70 45 60 21 32 9 47

Calculau un interval de confiança del $97\,\%$ per estimar la producció mitjana de taronges per arbre.

[5 punts]

En una certa empresa d'exportació, el 62.5% dels empleats parla anglès. D'altra banda, entre els empleats que parlen anglès, el 80% parla també alemany. Entre els empleats que no parlen anglès, només la tercera part sí que parla alemany.

a)

Quin percentatge d'empleats parla les dues llengües? [4 punts]

%

b)

Quin percentatge d'empleats parla alemany? [3 punts]

%

c)

Si un empleat no parla alemany, quina és la probabilitat que parli anglès? [3 punts]