Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares 2021 · Ordinaria

Donat el sistema d'equacions en funció del paràmetre $a$:

$$\begin{cases} x + y + z = 5 \\ 5x + ay - z = 11 \\ 3x - y + az = 2 \end{cases}$$

a)

Discutiu per a quins valors de $a$ el sistema té solució i quantes en té en cada cas. [6 punts]

b)

Trobau la solució del sistema per a $a = 2$. [4 punts]

Un ajuntament concedeix llicències per a la construcció d'una urbanització de, com a màxim, $120$ habitatges, de dos tipus, A i B. Per això l'empresa constructora disposa d'un capital màxim de $15$ milions d'euros, essent el cost de construcció de l'habitatge de tipus A de $100\,000$ euros i el de tipus B de $300\,000$ euros. El benefici obtingut per la venda d'un habitatge de tipus A és de $20\,000$ euros i per la venda d'un de tipus B és de $40\,000$ euros.

a)

Plantejau la maximització del benefici de la companyia com un problema de programació lineal. [4 punts]

b)

Dibuixau la regió factible per a la solució, indicant les rectes i vèrtexs que la delimiten. [4 punts]

c)

Calculau el nombre d'habitatges de cada tipus que s'han de construir per tal d'obtenir un benefici màxim. Determinau també aquest benefici màxim. [2 punts]

Considerau les següents matrius:

$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3k \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ k & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

Raonau si és possible calcular els productes $M \cdot N$ i $M^2$. En el cas que ho sigui, calculau-los. [2 punts]

b)

Estudiau per a quins valors de $k$ és $M \cdot N$ invertible. [3 punts]

Determinau els dos valors de $k$ que fan $\det(M \cdot N) = 0$ (per als quals $M \cdot N$ NO és invertible):

c)

Calculau la inversa de $M \cdot N$ per a $k = 1$: $(M \cdot N)^{-1} = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{pmatrix}$. [2 punts]

d)

Per a $k = 1$, trobau la matriu $X$ que compleix $(M \cdot N) \cdot X = B$, on $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. [3 punts]

Introduïu els elements de la matriu $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$:

Donada la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 + x$, definida per a tot $x \in \mathbb{R}$.

a)

Trobau $a$ i $b$ sabent que $f(x)$ té un punt crític en el punt $x = 1$ i la seva gràfica passa pel punt $(3, 0)$. [5 punts]

b)

Estudiau el creixement i decreixement de $f(x)$ per a $a = 3$ i $b = 3$. [5 punts]

El benefici $B(x)$, en euros, que obté una empresa per la venda de $x$ unitats d'un determinat producte es representa per la funció:

$$B(x) = -x^2 + 300x - 16100 \quad \text{per a } x \ge 0.$$

a)

Calculau el benefici de vendre'n 110 unitats. [1 punt]

b)

Representau gràficament la funció. [3 punts]

c)

Quantes unitats ha de vendre per tal que el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici màxim? [3 punts]

d)

Quantes unitats ha de vendre per tenir un benefici igual a 3900 euros? I per tenir un benefici superior a 3900 euros? [3 punts]

Considerem la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ e^{ax} + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

a)

Calculau els valors de $a$ perquè $f$ sigui contínua i derivable. [5 punts]

Considerem la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ e^{ax} + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

b)

Per a $a = 4$ calculau l'àrea compresa entre la gràfica de $f(x)$ i les rectes $x = 1$, $x = 2$ i $y = 0$. [5 punts]

7 El pes de les persones d'un col·legi major segueix una llei normal de mitjana $70\text{ kg}$ i desviació típica $15\text{ kg}$. Si escollim a l'atzar una persona del col·legi, calculau la probabilitat dels següents esdeveniments:

a)

El seu pes sigui superior a $80\text{ kg}$. [3 punts]

b)

El seu pes sigui inferior a $50\text{ kg}$. [3 punts]

c)

Pesi entre $60$ i $120\text{ kg}$. [4 punts]

De dos esdeveniments d'un mateix espai mostral se sap que

$$p(A \cap B) = 0{,}1 \quad p(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 \quad P(A/B) = 0{,}5,$$

$\overline{A}$ i $\overline{B}$ denoten els esdeveniments complementaris de $A$ i $B$ respectivament.

a)

Calculau $p(B)$. [3 punts]

b)

Calculau $p(A \cup B)$. [3 punts]

c)

Són els esdeveniments $A$ i $B$ independents? Raonau la resposta. [4 punts]

Sí

No