Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón 2021 · Extraordinaria

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & m \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & m \\ 0 & 6 & 3 \end{pmatrix}$.

a.-

(3 puntos) Determina los valores del parámetro $m$ para que $A$ tenga inversa. Para $m = 2$, calcula $A^{-1}$.

$m =$

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & m \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & m \\ 0 & 6 & 3 \end{pmatrix}$.

b.- (7 puntos) Discute y resuelve, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones:

$$B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

1.

Discusión del sistema: Indica el valor crítico de $m$ que determina los casos según el rango de $B$ y de la matriz ampliada.

2.

Resolución: Para $m \neq \frac{3}{2}$, el sistema es compatible determinado. Expresa la solución única $(x, y, z)$ en función de $m$:

2.- (10 puntos) El nutricionista de una fábrica de piensos aconseja a los granjeros dedicados a la cría de cerdos una ingesta de, al menos, 28 unidades de proteína y, al menos, 36 unidades de grasa vegetal. El nutricionista sabe que cada kilo de soja proporciona 5 unidades de proteína y 3 unidades de grasa y cada kilo de maíz proporciona 1 u. de proteína y 3 u. de grasa. Los precios del kilo de soja y maíz son 3€ y 2€, respectivamente y el granjero dispone de un presupuesto de 60€.

a.-

(8 puntos) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular la cantidad de soja y maíz que deben consumir los cerdos de manera que se minimice el coste de la alimentación. Obtén dicho valor mínimo.

b.-

(2 puntos) Si el granjero pensara que la dieta más cara es la mejor, ¿sería una solución óptima adquirir 12 kg. de soja y 15 kg. de maíz?

Sí

No

Sea la función:

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ x^3 - 6x^2 + 9x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

a.-

(3 puntos) Estudia si $f(x)$ es continua en $x = 0$, ¿$f(x)$ es continua en la recta real?

Sí

No

Sí

No

Sea la función:

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ x^3 - 6x^2 + 9x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

b.-

(3 puntos) Halla los mínimos y máximos absolutos de $f(x)$ en $x \in [1,4]$.

c.-

(1 punto) Analiza la concavidad ($\cap$) - convexidad ($\cup$) de $f(x)$ cuando $x > 0$.

Sea la función:

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ x^3 - 6x^2 + 9x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

d.-

(3 puntos) Calcula $\int_1^2 f(x)dx$.

Dada la función:$$f(x) = \frac{2x^2 - 16}{x + 3}$$

a.-

(4 puntos) Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$.

Dada la función:$$f(x) = \frac{2x^2 - 16}{x + 3}$$

b.-

(6 puntos) Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en su dominio.

5.- (10 puntos) Los profesores Alvarado, Benítez y Cadiñanos, han corregido el 25%, 30% y 45%, respectivamente, de los exámenes de una oposición. Los porcentajes de cometer algún fallo en la corrección son 1%, 2% y 3%, respectivamente. Si se selecciona un examen al azar:

a.-

(3 puntos) Calcula la probabilidad de que esté mal corregido.

b.-

(3 puntos) El examen tiene un error de corrección, calcula la probabilidad de haber sido corregido por Benítez.

c.-

(4 puntos) El examen tiene un error de corrección ¿qué corrector tiene mayor probabilidad de haber corregido mal el examen?

6.- (10 puntos) Se desea estimar la proporción de estudiantes que viven en un colegio mayor a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de estudiantes.

a.-

(6 puntos) Por estudios previos se sabe que el porcentaje de estudiantes alojados en un colegio mayor es del 20%. ¿De qué tamaño debemos elegir la muestra para que el error de la estimación de la proporción sea menor de 0,1 con un nivel de confianza del 98%?

b.-

(4 puntos) Se toma una muestra de 50 estudiantes y se observa que 12 se alojan en un colegio mayor, calcula el intervalo de confianza al 98% para la proporción de estudiantes alojados en un colegio mayor.