Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón 2023 · Extraordinaria

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

a.- (5 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ y la ecuación matricial $XB + A = C$, determine razonadamente el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial esté bien planteada. Despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial.

1.

$\times$

2.

3.

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

b)

(5 puntos) Calcule, utilizando técnicas matriciales, la solución del sistema de ecuaciones lineales:

$$\left\{\begin{array}{l} 2x - 5y + 3z = 1 \\ x - y + z = 1 \\ 3x + 3y + z = 5 \end{array}\right.$$

Indique la solución general del sistema en función del parámetro libre (por ejemplo, con $z = \lambda$ o la variable que haya escogido):

$x =$

$y =$

$z =$

(10 puntos) Emilia quiere fertilizar sus campos de cultivo utilizando sacos de fertilizantes de dos marcas comerciales, A y B. Por cuestiones medioambientales debe comprar como máximo 100 sacos. Un saco del fertilizante A cuesta 4 € y uno del B cuesta 6 €. Un saco del fertilizante A contiene 3 unidades de nitrógeno, 5 de fósforo y 1 de potasio, mientras que un saco del B contiene 2 unidades de cada nutriente. Los terrenos estarán bien fertilizados con al menos 180 unidades de nitrógeno, al menos 200 de fósforo y, al menos, 80 de potasio. ¿Cuál es el gasto mínimo que tiene que hacer Emilia y qué debe comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de los cultivos?

El coste total de fabricación, en euros, de cierto producto viene dado por la función $C(x) = x^2 + 80x + 10.000$, donde $x$ representa el número de unidades producidas y vendidas.

a)

(5 puntos) Si cada producto se vende a 400 euros, plantee la función beneficio (ingresos menos costes) en función del número de unidades producidas y vendidas. Determine el número de unidades del producto que deben venderse para que el beneficio sea máximo (justificando que lo es). ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

b)

(5 puntos) ¿En qué nivel de producción se minimiza el coste medio por unidad $CM(x) = \frac{C(x)}{x}$?

Dada la función $$f(x) = \frac{mx^3 - 1}{x^2}$$

a)

(6 puntos) Determine el valor del parámetro $m$ para que la función tenga un extremo relativo en $x = -1$. Razone si se trata de un máximo o un mínimo relativo.

$m =$

Dada la función $$f(x) = \frac{mx^3 - 1}{x^2}$$

b)

(4 puntos) Calcule el valor de $m$ para que $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 4$.

$m =$

5.- ( 10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

a.-

( 6 puntos) La probabilidad de que un autobús escolar llegue con retraso en un día nublado es de 0,08 y en un día despejado 0,004. Durante un periodo de 20 días ha habido 8 días nublados y 12 días despejados. Para un día elegido al azar, ¿cuál será la probabilidad de que el autobús llegue con retraso?

b.-

( 4 puntos) De los sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio se sabe que: $P(A)=\frac{3}{8}$, $P(B)=\frac{5}{8}$ y $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$. Calcule $P(A\cap B)$, $P(A/B)$ y $P(A\cap \overline{B})$. Justifique si $A$ y $B$ son dos sucesos independientes.

6.- (10 puntos) Se pretende analizar el consumo anual en alimentación y bebidas en los hogares españoles. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica de 3.000 euros.

a.-

(5 puntos) Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 96% para la media de dicha variable ¿cuántas familias tenemos que encuestar para que la amplitud del intervalo no sea superior de 2.000 euros?

b.-

(4 puntos) En una muestra de 60 hogares se obtuvo un consumo medio anual en alimentación y bebidas de 17.000 euros, halle el intervalo de confianza al 96% para la media de dicha variable.

(

,

)

c.-

(1 punto) Si desde una asociación de consumidores se afirma «el consumo anual medio en alimentación y bebidas en hogares es de 20.000 euros al año». Razone, a la vista del apartado b.- si hay motivos para dudar de su afirmación.

Sí

No

Tabla de la distribución normal N(0, 1):