Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón 2021 · Ordinaria

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$:

a.

Calcula $(B - A)^{-1}$.

\left($

$\right)

b.

Calcula la matriz $X$ que verifica: $2X - AB = BA$.

\left($

$\right)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$:

c.- (4 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones:

$$C \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Solución general del sistema (tomando $z = \lambda$ como parámetro libre, con $\lambda \in \mathbb{R}$):

$x =$

$y =$

$z =$

Un mayorista de zapatos pone a la venta su stock, en concreto, 800 pares de botas, 1.200 pares de mocasines y 2.100 pares de zapatillas. Lanza dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en 1 par de botas, 3 pares de mocasines y 7 pares de zapatillas y se vende a 360 euros. La oferta B consiste en 2 pares de botas y 2 pares de mocasines que vende a 120 euros. Se pide:

a.

Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada oferta que maximiza el ingreso obtenido con la venta. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?

b.

Razona cuántos pares de botas, mocasines y zapatillas quedarán sin vender en la solución óptima.

Pares de botas sin vender:

Pares de mocasines sin vender:

Pares de zapatillas sin vender:

Un grupo de jóvenes emprendedores valoran abrir una empresa y, para ello, han encargado un estudio de mercado en el que estimaron que los beneficios para los próximos años, en cientos de miles de euros, vendrán dados por la función: $$B(t) = \frac{2t - 6}{t + 4}$$ donde $t$ representa los años transcurridos desde la apertura. Los emprendedores quieren saber:

a.

¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas?

b.

En qué momento $t \in [3, 10]$ se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta.

c.

¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 €?

d.

En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?

Sí

No

Dada la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{a}{1-x} & \text{si } x \le 0 \\ bx^2 + 2x + c & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

donde $a, b, c$ son parámetros reales.

a.- Determina los valores de los parámetros para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, la función tenga un extremo relativo en $x = 1$ y $f'(-1) = -1$. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.

Máximo

Mínimo

Dada la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{a}{1-x} & \text{si } x \le 0 \\ bx^2 + 2x + c & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

donde $a, b, c$ son parámetros reales.

b.- Calcula, para los valores $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)$$

Dada la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{a}{1-x} & \text{si } x \le 0 \\ bx^2 + 2x + c & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

donde $a, b, c$ son parámetros reales.

c.- Calcula, para los valores $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$:

$$\int_1^2 f(x)\,dx$$

5.- (10 puntos) Al terminar el bachillerato los 100 alumnos de un Centro, de las modalidades de Ciencias y Artes, planean viajar por Italia, Francia o Portugal. Entre los 55 alumnos de Ciencias se sabe que 10 quieren ir a Italia, 25 a Francia y 20 a Portugal. En el grupo de Artes hay 30 que quieren ir a Italia y 15 a Portugal. Elegido un alumno al azar, calcula:

a.-

(2,5 puntos) La probabilidad de que quiera ir a Portugal.

b.-

(2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno que quiera ir a Italia sea de Artes.

c.-

(2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno quiera ir a Francia y sea de Ciencias.

d.-

(2,5 puntos) Probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia.

6.- (10 puntos) Se quiere estimar el tiempo diario de conexión a redes sociales de los universitarios. Se sabe que dicho tiempo tiene una distribución normal con desviación típica de 33 minutos (0,55 horas). Se desea construir un intervalo de confianza para la media diaria de conexión a redes sociales. Se pide:

a.-

(6 puntos) ¿A cuántos estudiantes debemos entrevistar para garantizar que el intervalo de confianza del 97% tenga una amplitud menor o igual a 0,16 horas?

b.-

(3 puntos) Se ha encuestado a 100 universitarios y se ha obtenido una media de 4 horas al día. Calcula el intervalo de confianza al 97% para la media poblacional.

c.-

(1 punto) Un informe de cierto Ministerio afirma que la media del tiempo que los universitarios pasan conectados a las redes sociales es de 5 horas al día. Razona, a la vista del apartado b.- si hay motivos para dudar de su afirmación.

Sí

No