Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón 2024 · Extraordinaria

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

a.-

(5 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, y la ecuación matricial $AX - IX = B$, despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial.

$x_{11} =$ $x_{12} =$

$x_{21} =$ $x_{22} =$

1.- (10 puntos) Responda a las siguientes cuestiones:

b.-

(5 puntos) Un producto llamado "TechGadget" puede ser adquirido a través de tres canales de venta: en tienda física (a un precio de 10 €), en tienda online (a un precio de 6 €), y en tienda de segunda mano (a un precio de 5 €). Este mes se ha registrado un total de 1.600 € en ventas de este producto. Además, se sabe que el número de unidades vendidas en tienda online es 5 veces el de unidades vendidas en tienda física, y que por las ventas en tienda de segunda mano se obtuvieron 800 € más que por las ventas en tienda física. Plantee un sistema de ecuaciones para obtener el número de unidades del producto que se han vendido este mes por cada canal de venta y resuelva dicho anterior utilizando técnicas matriciales.

Ejercicio 2

(10 puntos) Javier disfruta mucho de los partidos de fútbol y de los conciertos, y su presupuesto anual para este tipo de ocio está limitado a 1.000 euros. Cada partido de fútbol cuesta 60 euros y cada concierto, 40 euros. Con la condición de asistir a al menos tantos partidos de fútbol como conciertos y acudir a un máximo de 14 partidos de fútbol al año, responda a las siguientes preguntas:

a.-

(2 puntos) ¿Puede Javier asistir a 8 partidos de fútbol y a 8 conciertos? En caso afirmativo, ¿gasta todo su presupuesto?

Sí

No

No

Sí

b.-

(8 puntos) Si Javier busca maximizar el número de salidas para divertirse, plantee y resuelva un problema de programación lineal para determinar cuántas veces puede ir a cada sitio. ¿Cuántas escapadas disfrutará en total?

Ejercicio 3

(10 puntos) El cálculo del índice de progreso real ($IPR$) de un país viene determinado por la función $IPR(t) = -t^3 + 54t^2 + 480t + 6000$ siendo $t \in [0, 62]$ el número de años transcurridos desde 1.932.

Se pide:

a.-

(4 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento del $IPR$ del país.

La función es creciente en $[0, t_1)$ y decreciente en $(t_1, 62]$.

b.-

(3 puntos) ¿En qué año el $IPR$ alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor? Asimismo ¿en qué año el $IPR$ registra su valor mínimo y cuál es dicho valor?

c.-

(3 puntos) Analice la concavidad y convexidad de la función $IPR(t)$, e identifique, si existe, algún punto de inflexión.

Sea $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2-x} & \text{si } x < 2 \\ 1 & \text{si } x = 2 \\ x - \sqrt{x^2 - 2x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

a)

Estudie la continuidad de $f(x)$.

c)

Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Sea $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2-x} & \text{si } x < 2 \\ 1 & \text{si } x = 2 \\ x - \sqrt{x^2 - 2x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

b)

Calcule $\int_0^1 f(x)\,dx$.

En España, el 30% de la población tiene menos de 30 años, el 50% tiene entre 30 y 65 años y el 20% tiene más de 65 años. Un estudio afirma que, de las personas de menos de 30 años, un 70% tiene teléfono móvil, que de las personas entre 30 y 65 años, un 95% tiene teléfono móvil y que de las personas de más de 65 años, un 50% tiene teléfono móvil.

a)

Se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que tenga más de 65 años y posea teléfono móvil.

b)

Elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono móvil?

c)

Elegimos una persona al azar y resulta que tiene teléfono móvil. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 65 años?

d)

Elegimos a una persona de cada uno de los tres grupos de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres tengan teléfono móvil? (Puede suponerse independencia entre las tres personas).

6.- (10 puntos) Responda a las siguientes preguntas:

a.- (2 puntos) Responder a ¿Qué distribución tiene la variable $X$? (0,5 pto) y calcular $P(X=2)$ (1,5 ptos)

6.- (10 puntos) Responda a las siguientes preguntas:

(8 puntos) Queremos realizar una encuesta entre los aficionados de un equipo de fútbol para estimar, mediante un intervalo de confianza, qué proporción piensa que su equipo va a ascender a primera división el año que viene. Usaremos un nivel de confianza del 95%.

b.1

(4 puntos) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar?

b.2

(4 puntos) Decidimos preguntar a 120 aficionados, de los cuales 80 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender.