Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2021 · Ordinaria Suplente

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

[0,7 puntos] Calcule $A^{40}$ y $(A^t)^{30}$.

b)

[0,6 puntos] Calcule $(A^{-1} + A)^2$.

c)

[1,2 puntos] Resuelva la ecuación matricial $(A^t + I_2) \cdot X = A^t - I_2$.

Se consideran las siguientes inecuaciones:

$$5x - 3y \ge -9 \qquad x + y \le 11 \qquad 6x + y \le 36 \qquad x + 2y \ge 6$$

a)

[1,5 puntos] Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.

Vértice 1: (

,

)

Vértice 2: (

,

)

Vértice 3: (

,

)

Vértice 4: (

,

)

b)

[0,25 puntos] ¿Pertenece el punto $(5, 7)$ a la región factible anterior? Justifique su respuesta.

c)

[0,75 puntos] Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 10x - 6y$ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Vértice o extremo 1: (

,

)

Vértice o extremo 2 (dejar vacío si se alcanza en un solo punto): (

,

)

(

,

)

Se considera la función$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x \le -1 \\ -3x^2 + 4 & \text{si } -1 < x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en todo su dominio.

b)

[0,8 puntos] Represente gráficamente la función $f$.

c)

[0,7 puntos] Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 3$.

$\text{u}^2$

EJERCICIO 4

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$, donde $x$ es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

a)

[1 punto] ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?

b)

[1.5 puntos] Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa $x = 4$. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.

Una determinada ciudad tiene en la plantilla del ayuntamiento 1000 agentes de la policía local, 600 bomberos y 400 funcionarios de protección civil. En esta plantilla, el 42 % de policías, el 20 % de bomberos y el 50 % de funcionarios de protección civil son mujeres. Se elige una persona al azar de la plantilla.

a)

[1.5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

b)

[1 punto] Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?

Una urna $A$ contiene 4 bolas rojas y 5 verdes y otra urna $B$ contiene 6 bolas rojas y 3 verdes. Lanzamos dos dados y si la suma es mayor o igual a 9, extraemos una bola de la urna $A$ y en caso contrario, la extraemos de la urna $B$.

a)

[1.5 puntos] Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna $B$.

b)

[1 punto] Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0,1)$, esté por debajo del valor $z$.

BLOQUE D

EJERCICIO 7

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de 1000 ciudadanos, revelándose que el 15 % de ellos están enfermos.

a)

(1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 95 %, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.

b)

(1 punto) Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al 1 %.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0,1)$, esté por debajo del valor $z$.

BLOQUE D

EJERCICIO 8

El peso de los paquetes de arroz de una marca comercial concreta sigue una ley Normal de media $1000\text{ g}$ y varianza $256\text{ g}^2$.

a)

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño 64 sea menor que $996\text{ g}$.

b)

(1.5 puntos) Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de 64 paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de $63\,744\text{ g}$. Halle un intervalo de confianza al 90 % para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.

c)

(0.25 puntos) A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de $1000\text{ g}$, ¿cree que la denuncia tiene base?

Sí

No