Examen de Álgebra UDG 2022 · final d'Àlgebra (Gener 2022)

Pregunta 1 (0,75 punts). Rang d'una matriu segons un paràmetre

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 3-m & m-6 \\ -3 & -1 & m+2 \\ -1 & 0 & m \end{pmatrix}$$

Indiqueu per a quins valors del paràmetre $m$ es compleix que $\operatorname{rang}(A) = 3$:

Pregunta 2 (0,75 punts). Factorització LU amb pivotatge i escalat

En aplicar la descomposició o factorització $LU$ amb estratègia de pivotatge parcial escalat a la matriu

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

quina és la matriu triangular inferior $L$ obtinguda?

.

Pregunta 3 [0,75 punts]. Condició de no diagonalització

Trobeu per a quins valors de la constant real $a$ la matriu següent no resulta diagonalitzable:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ -3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$$

Pregunta 4 [0,75 punts]. Coordenades en un nou sistema de referència

Siguin el sistema de referència canònic del pla $SR = \{O; \vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ i un nou sistema $SR' = \{A; \vec{v}_1, \vec{v}_2\}$, on $A(1, 1)$, $\vec{v}_1 = (2, 1)$ i $\vec{v}_2 = (1, 3)$. Quines seran les coordenades respecte a $SR'$ d'un punt $P$ que té com a coordenades $(-2, 2)$ en $SR$?

Pregunta 5 [0,75 punts]. Sinus de l'angle entre dos vectors

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dos vectors a l'espai tals que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 1$ i l'angle format entre ells és $\pi/3$. Trobeu el valor del sinus de l'angle no orientat existent entre els vectors $\vec{u} - \vec{v}$ i $2\vec{u} + \vec{v}$.

Pregunta 6 (0,75 punts). Àrea d'un triangle a l'espai

Calculeu l'àrea del triangle determinat pels vèrtexs $P(2, 2, -1)$, $Q(2, -1, 3)$ i $R(3, 2, 3)$.

Pregunta 7 (0,75 punts). Rotació al pla al voltant d'un punt

Determineu les coordenades del punt resultant de girar el punt $P(1, 1)$ un angle de $\pi/2$ en sentit antihorari amb centre de rotació a $C(2, -2)$.

a

$(-1, 5)$

b

$(-1, -3)$

c

$(-1, 1)$

d

Cap de les altres

Pregunta 8 (0,75 punts). Matriu de projecció ortogonal en coordenades homogènies

Quina és l'expressió matricial en coordenades homogènies corresponent a la projecció ortogonal sobre el pla d'equació $x - y - z = 1$?

Es considera el model poblacional descrit per la següent matriu:

$$P = \begin{pmatrix} a & 2 & 4 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

a)

[0,65 punts] Determineu de forma justificada per a quins valors del paràmetre real $a$ la matriu $P$ diagonalitza.

Es considera el model poblacional descrit per la següent matriu:

$$P = \begin{pmatrix} a & 2 & 4 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

b)

Calculeu els valors propis i els subespais propis (vectors propis) associats en el cas concret $a = 0$.

c)

Suposant $a = 0$ i una població inicial donada per $X_0 = (400, 100, 100)^T$, determineu la població existent després d'1, 2 i 3 cicles.

d)

Per a $a = 0$, indiqueu justificadament si la població creix, decreix o roman estable a llarg termini, indicant en quin percentatge.

e)

Per a $a = 0$, quina distribució percentual per classes d'edat s'assolirà a llarg termini?

Problema 2 (2,05 punts). Transformacions geomètriques en el pla

Es consideren els punts del pla $A(0,0)$, $B(1,2)$, $C(2,4)$ i $D(-3,1)$.

a)

[0,50 punts] Calculeu la matriu de simetria axial $S_1$ respecte de la recta que té vector director $\vec{AB}$ i passa pel punt $A$ (en coordenades homogènies 3×3):

b)

[0,50 punts] Trobeu la matriu de simetria axial $S_2$ respecte de la recta de vector director $\vec{CB}$ que passa pel punt $C$:

c)

[0,50 punts] Determineu la matriu en coordenades homogènies de l'homotècia $H$ de centre $D$ i raó $k = 2$:

d)

[0,50 punts] Apliqueu successivament les transformacions sobre els vèrtexs $A, B, C$ i $D$: primer $S_1$, després $S_2$ sobre els resultats previs, i finalment torneu a aplicar $S_1$:

Imatge final de $A$: (

,

)

Imatge final de $B$: (

,

)

Imatge final de $C$: (

,

)

Imatge final de $D$: (

,

)

e)

[0,25 punts] Apliqueu l'homotècia $H$ als quatre punts $A, B, C, D$:

$A' = H(A)$: (

,

)

$B' = H(B)$: (

,

)

$C' = H(C)$: (

,

)

$D' = H(D)$: (

,

)

f)

[0,25 punts] Analitzeu què els succeeix als punts $B$ i $D$ en aplicar les diferents simetries i compareu els resultats amb l'homotècia aplicada a $D$: