Problema 2 · Álgebra UDG 2022

Tema: Transformacions geomètriques en coordenades homogènies · Del examen Examen final d'Àlgebra (Gener 2022) (2022)

Enunciado

Problema 2 (2,05 punts). Transformacions geomètriques en el pla

Es consideren els punts del pla A(0,0)A(0,0), B(1,2)B(1,2), C(2,4)C(2,4) i D(−3,1)D(-3,1).

a)

[0,50 punts] Calculeu la matriu de simetria axial S1S_1 respecte de la recta que té vector director AB⃗\vec{AB} i passa pel punt AA (en coordenades homogènies 3×3):

b)

[0,50 punts] Trobeu la matriu de simetria axial S2S_2 respecte de la recta de vector director CB⃗\vec{CB} que passa pel punt CC:

c)

[0,50 punts] Determineu la matriu en coordenades homogènies de l'homotècia HH de centre DD i raó k=2k = 2:

d)

[0,50 punts] Apliqueu successivament les transformacions sobre els vèrtexs A,B,CA, B, C i DD: primer S1S_1, després S2S_2 sobre els resultats previs, i finalment torneu a aplicar S1S_1:

Imatge final de AA: (

,

)

Imatge final de BB: (

,

)

Imatge final de CC: (

,

)

Imatge final de DD: (

,

)

e)

[0,25 punts] Apliqueu l'homotècia HH als quatre punts A,B,C,DA, B, C, D:

A′=H(A)A' = H(A): (

,

)

B′=H(B)B' = H(B): (

,

)

C′=H(C)C' = H(C): (

,

)

D′=H(D)D' = H(D): (

,

)

f)

[0,25 punts] Analitzeu què els succeeix als punts BB i DD en aplicar les diferents simetries i compareu els resultats amb l'homotècia aplicada a DD:

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDG 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matriu S1 (fila 1, columna 1)

Solución: -3/5 / -0.6

a) Matriu S1 (fila 1, columna 2)

Solución: 4/5 / 0.8

a) Matriu S1 (fila 1, columna 3)

Solución: 0

a) Matriu S1 (fila 2, columna 1)

Solución: 4/5 / 0.8

a) Matriu S1 (fila 2, columna 2)

Solución: 3/5 / 0.6

a) Matriu S1 (fila 2, columna 3)

Solución: 0

a) Matriu S1 (fila 3, columna 1)

Solución: 0

a) Matriu S1 (fila 3, columna 2)

Solución: 0

a) Matriu S1 (fila 3, columna 3)

Solución: 1

b) Matriu S2 (fila 1, columna 1)

Solución: -3/5 / -0.6

b) Matriu S2 (fila 1, columna 2)

Solución: 4/5 / 0.8

b) Matriu S2 (fila 1, columna 3)

Solución: 0

b) Matriu S2 (fila 2, columna 1)

Solución: 4/5 / 0.8

b) Matriu S2 (fila 2, columna 2)

Solución: 3/5 / 0.6

b) Matriu S2 (fila 2, columna 3)

Solución: 0

b) Matriu S2 (fila 3, columna 1)

Solución: 0

b) Matriu S2 (fila 3, columna 2)

Solución: 0

b) Matriu S2 (fila 3, columna 3)

Solución: 1

c) Matriu H (fila 1, columna 1)

Solución: 2

c) Matriu H (fila 1, columna 2)

Solución: 0

c) Matriu H (fila 1, columna 3)

Solución: 3

c) Matriu H (fila 2, columna 1)

Solución: 0

c) Matriu H (fila 2, columna 2)

Solución: 2

c) Matriu H (fila 2, columna 3)

Solución: -1

c) Matriu H (fila 3, columna 1)

Solución: 0

c) Matriu H (fila 3, columna 2)

Solución: 0

c) Matriu H (fila 3, columna 3)

Solución: 1

d) Coordenada x de la imatge final de A

Solución: 0

d) Coordenada y de la imatge final de A

Solución: 0

d) Coordenada x de la imatge final de B

Solución: 1

d) Coordenada y de la imatge final de B

Solución: 2

d) Coordenada x de la imatge final de C

Solución: 2

d) Coordenada y de la imatge final de C

Solución: 4

d) Coordenada x de la imatge final de D

Solución: 13/5 / 2.6

d) Coordenada y de la imatge final de D

Solución: -9/5 / -1.8

e) Coordenada x de A' = H(A)

Solución: 3

e) Coordenada y de A' = H(A)

Solución: -1

e) Coordenada x de B' = H(B)

Solución: 5

e) Coordenada y de B' = H(B)

Solución: 3

e) Coordenada x de C' = H(C)

Solución: 7

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