Examen de Álgebra UDG 2022 · PAC Àlgebra - Novembre 2022

Trobeu la solució de l'equació matricial $XA + B = C$, on:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Pregunta 2 (1 punt). Rang segons paràmetres

Considereu la matriu:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & b & 0 \end{pmatrix}$$Per a quins valors dels paràmetres $a, b$ el seu rang és sempre 2?

a

$b = 2, a \neq 0$

b

$b \neq 2, a\text{ qualsevol}$

c

$b = 2, a = 0$

d

$a \neq 0, b\text{ qualsevol}$

Pregunta 3 (1 punt). Sistema d'equacions lineals

Determineu la solució del sistema d'equacions següent:

$$\begin{cases} 3x - y + z = 5 \\ x + 3y - z = 2 \\ 2x - 4y + 2z = 3 \end{cases}$$

Pregunta 4 (1 punt). Problema d'aplicació

S'han enrajolat 73 m² de paviment d'un recinte esportiu utilitzant 4 tipus de materials diferents, però se'n desconeixen les quantitats individuals. Les característiques de cost i temps de col·locació de cada material són:

Preu del material: 10 €/m² pel tipus 1, 20 €/m² pel tipus 2, 30 €/m² pel tipus 3 i 60 €/m² pel tipus 4.

Temps d'instal·lació: 1 h/m² pel tipus 1, 2 h/m² pels tipus 2 i 3, i 4 h/m² pel tipus 4.

El cost total dels materials ha estat de 1060 € i la feina ha requerit un total de 96 hores. Quants metres quadrats com a màxim es poden haver emprat del material tipus 4?

Pregunta 5 (1 punt). Factorització LU amb pivotatge i escalat

Si apliquem la factorització $LU$ amb pivotatge i escalat a la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

quina és la matriu $L$ resultant?

.

Pregunta 6 (1 punt). Resolució amb factorització LU i matriu de permutació

Es disposa de la factorització $LU$ d'una matriu $A$ amb matriu de permutació $P$:

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Resoleu el sistema $AX = B$ essent $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Pregunta 7 (1 punt). Diagonalització d'una matriu

Donada la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$

Indiqueu quina de les afirmacions següents és CERTA:

Pregunta 8 (1 punt). Potència d'una matriu a partir de valors propis

Una matriu d'ordre $2 \times 2$ té els valors propis $\lambda_1 = 2$ i $\lambda_2 = 3$, associats respectivament als vectors propis $\vec{v}_1 = (1, 1)$ i $\vec{v}_2 = (2, 1)$. Aleshores, la matriu $A^2$ és:

Pregunta 9 (1 punt). Estat estacionari d'una cadena de Markov

S'està avaluant l'ùs de dos nous cercadors d'Internet. A partir de les proves s'observa que el 90% dels usuaris del cercador Blau el segueixen emprant al mes següent, mentre que el 80% dels usuaris del cercador Groc també s'hi mantenen el mes següent. A llarg termini, quina és la probabilitat que un usuari utilitzi el cercador Groc?

Pregunta 10 (1 punt). Mètode de la potència

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Si fem servir el mètode de la potència partint del vector llavor $\vec{w}_0 = (1, 1)^T$, quina aproximació del valor propi dominant s'obté després de dues iteracions mitjançant el quocient de Rayleigh?