Examen de Álgebra UDG 2022 · Final d'Àlgebra - Gener 2022

Pregunta 1 (0,75 punts). Commutació de matrius 2×2

Considerant les matrius següents de dimensió $2 \times 2$:

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} b & 0 \\ a & b \end{pmatrix}$$

Determineu sota quines condicions per als valors reals $a$ i $b$ es compleix que $M$ i $N$ commuten ($MN = NM$):

Pregunta 2 [0,75 punts]. Forma esglaonada reduïda per Gauss-Jordan

Trobeu la forma reduïda per files (Gauss-Jordan) de la matriu $M$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 & -1 & 4 \\ -3 & -9 & -6 & 9 & 6 & -18 \\ -2 & -7 & -5 & 9 & 5 & -12 \end{pmatrix}$$

Pregunta 3 [0,75 punts]. Mètode de Gauss amb pivotatge escalat

Sigui $M$ la matriu ampliada associada a un sistema d'equacions lineals:$$M = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 3 \\ 4 & 1 & -3 & 5 \\ 2 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Indiqueu quina és la matriu resultant en dur a terme l'eliminació gaussiana mitjançant l'estratègia de pivotatge parcial escalat:

Pregunta 4 [0,75 punts]. Diagonalització segons un paràmetre

Considereu la matriu real $A$ dependent del paràmetre $a$:$$A = \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ -3 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$

Per a quins valors de $a$ resulta diagonalizable la matriu $A$?

Pregunta 5 (0,75 punts). Canvi de sistema de referència afí

Siguin el sistema de referència inicial $SR = \{O; \vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ i un nou sistema de referència $SR' = \{P; \vec{v}_1, \vec{v}_2\}$, amb:

$$P(1,-1), \quad \vec{v}_1 = (3,2), \quad \vec{v}_2 = (-2,3)$$

Quines són les coordenades en el sistema $SR'$ d'un punt $A$ que en el sistema $SR$ té coordenades $(1,1)$?

.

Pregunta 6 (0,75 punts). Vector unitari ortogonal amb orientació fixada

Trobeu un vector $\vec{u}$ unitari (de norma 1) que sigui perpendicular al vector $\vec{v} = (4,3)$ i que estigui orientat en el mateix sentit que el sistema de referència $SR = \{O; \vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ amb $\vec{e}_1 = (2,-1)$ i $\vec{e}_2 = (-1,-2)$.

.

Pregunta 7 (0,75 punts). Rotació en el pla al voltant d'un centre

Calculeu les coordenades del punt resultant d'aplicar un gir d'angle $\theta = \pi/4$ al voltant del centre $C(-1,0)$ al punt $P(3,2)$:

.

Pregunta 8 (0,75 punts). Punt simètric respecte a un pla

Trobeu les coordenades del punt simètric de $P(1,2,1)$ respecte al pla d'equació $\pi: x - y + 2z + 2 = 0$:

.

Una població estructurada per edats en tres nivells té les característiques següents: la mitjana de filles dels individus del nivell 2 és 2 i la dels individus de nivell 3 és 5. La taxa de supervivència dels individus dels nivells 1 i 2 és 1/3.

a)

[0,3 punts] Escriviu la matriu $P$ d'evolució de la població.

b)

[0,25 punts] Calculeu la població d'aquí a 1, 2 i 3 cicles si la població inicial és $(95, 28, 9)$.

(,

,

) t

(,

,

) t

(,

,

) t

c)

[0,75 punts] Calculeu una aproximació del valor i vector propi dominant fent servir el mètode de la potència amb un error relatiu més petit que $10^{-3}$ (prenent com a vector inicial el resultat del 3r cicle).

(,

,

) t

d)

[0,35 punts] Indiqueu si la població creix, decreix o es manté estable i en quin percentatge.

Creix

Decreix

Es manté estable

%

e)

[0,35 punts] Quina serà la distribució de població a llarg termini? Escriviu el resultat en percentatges.

Nivell 1: %

Nivell 2: %

Nivell 3: %

Donat el tetraedre $ABCD$ de vèrtexs $A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 1)$ i $D(0, 0, 2)$:

a)

[0,5 punts] Calculeu la matriu de rotació $R$ d'angle $\pi/2$ al voltant de l'eix que conté la recta amb vector director $\vec{AB}$ i que passa pel punt $A$ (en coordenades homogènies $4\times 4$):

b)

[0,35 punts] Calculeu la matriu d'homotècia $H$ de centre $B$ i raó $2$:

c)

[0,35 punts] Calculeu la matriu de projecció $P$ respecte del pla format pels punts $ABC$:

d)

[0,30 punts] Calculeu la matriu de transformació $T$ consistent en aplicar l'homotècia seguida de la rotació i de la projecció ($T = P R H$). Calculeu l'àrea del triangle resultant d'aplicar la transformació $T$ al triangle $ABD$.

e)

[0,25 punts] Apliqueu l'homotècia $H$ al triangle $ABD$ i calculeu l'àrea del triangle resultant:

f)

[0,25 punts] Calculeu l'àrea del triangle $ABD$ original i compareu-la amb les àrees obtingudes als apartats anteriors.