Examen de Matrices y Vectores UB 2023 · reavaluació (gener 2023)

Exercici 1. Subespais suma i intersecció a $\mathbb{R}^4$ i complementaris [10 punts]

Considerem els següents subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$:

$$F = \langle(-1, 1, 1, 2), (3, 3, 5, 6), (5, 1, 3, 2)\rangle$$

$$G = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid 5x - y - z = 0 \text{ i } 6x - y - t = 0\}$$

a)

[6 punts] Determineu la dimensió, una base i un conjunt d'equacions implícites independents per a cadascun dels subespais $F + G$ i $F \cap G$.

Subespai $F + G$:

Subespai $F \cap G$:

b)

[4 punts] Calculeu un subespai complementari de $G$ en $F + G$ i un subespai complementari de $G$ en $\mathbb{R}^4$.

Exercici 2. Subespais amb paràmetre i coordenades [10 punts]

Siguin $E$ un espai vectorial, $B = (u_1, u_2, u_3, u_4)$ una base de $E$, $k \in \mathbb{R}$ i el subespai

$$F = \langle u_2 - 2u_3,\, u_1 + u_2 - u_3 + u_4,\, -u_3 + k(u_1 + u_2 + u_3 + u_4) \rangle.$$

a)

[4 punts] Determineu la dimensió de $F$ segons els valors del paràmetre $k$.

b)

[4 punts] Per a cada valor de $k$, trobeu una base de $F$ i amplieu-la fins a obtenir una base de tot l'espai $E$.

c)

[2 punts] Per a $k = 1$, doneu les coordenades del vector $u_1 + u_2 + u_3 + u_4$ en la base de $E$ obtinguda a l'apartat anterior.

Sigui $\sigma$ una permutació de $n$ elements. Es defineix la matriu $A = (a^i_j)_{1 \le i, j \le n}$ mitjançant:$$a^i_j = \begin{cases} 1 & \text{si } j = \sigma(i) \\ 0 & \text{si } j \neq \sigma(i) \end{cases}$$

a.

(5 punts) Calculeu el determinant de la matriu $A$ en funció de la signatura de $\sigma$. Justifiqueu la resposta de manera clara i detallada.

Sigui $\sigma$ una permutació de $n$ elements. Es defineix la matriu $A = (a^i_j)_{1 \le i, j \le n}$ mitjançant:$$a^i_j = \begin{cases} 1 & \text{si } j = \sigma(i) \\ 0 & \text{si } j \neq \sigma(i) \end{cases}$$

b.

(5 punts) Per a $n = 4$ i la permutació donada per$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},$$escriviu explícitament la matriu $A$ i calculeu la seva matriu inversa.

Exercici 4. Aplicació lineal, nucli, imatge i potències (10 punts)

Considerem l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida per$$f(x, y, z) = (y, x - z, -x + y + z).$$

a)

[2 punts] Doneu la matriu associada a $f$ en la base canònica de $\mathbb{R}^3$, $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$.

b)

[3 punts] Calculeu la dimensió i una base del nucli de $f$ ($\ker f$) i de la imatge de $f$ ($\operatorname{Im} f$).

c)

[3 punts] Proveu que, per a qualsevol nombre enter $n \ge 2$, es compleix la igualtat $f^n = f^2$.

d)

[2 punts] Trobeu tots els vectors $u \in \mathbb{R}^3$ que satisfan $f(u) = f(1, 1, 1)$.

Exercici 5 - Teoria. Invertibilitat i rang màxim d'una matriu quadrada (10 puntos)

Sigui $A$ una matriu d'ordre $n \times n$ amb coeficients en un cos $K$. Proveu que $A$ és invertible si, i només si, el rang de $A$ és igual a $n$.

1.

2.