Exercici 1 · Matrices y Vectores UB 2023

Exercici 1. Subespais suma i intersecció a $\mathbb{R}^4$ i complementaris [10 punts]

Considerem els següents subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$:

$$F = \langle(-1, 1, 1, 2), (3, 3, 5, 6), (5, 1, 3, 2)\rangle$$

$$G = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid 5x - y - z = 0 \text{ i } 6x - y - t = 0\}$$

a)

[6 punts] Determineu la dimensió, una base i un conjunt d'equacions implícites independents per a cadascun dels subespais $F + G$ i $F \cap G$.

Subespai $F + G$:

Subespai $F \cap G$:

b)

[4 punts] Calculeu un subespai complementari de $G$ en $F + G$ i un subespai complementari de $G$ en $\mathbb{R}^4$.